【题目】如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.
(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
【答案】
(1)解:由抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0)及C(2,3)得,
,
解得 ,
故抛物线为y=-x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A(-1,0)及C(2,3)得
,
解得
故直线AC为y=x+1
(2)解:如图1,作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由(1)得D(1,4),
故直线DN′的函数关系式为y=- x+
,
当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,
则m=- ×3+
=
(3)解:由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),
∵点E在直线AC上,
设E(x,x+1),
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,
则F(x,x+3),
∵F在抛物线上,
∴x+3=-x2+2x+3,
解得,x=0或x=1(舍去)
∴E(0,1);
②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,
则F(x,x-1)
由F在抛物线上
∴x-1=-x2+2x+3
解得x= 或x=
∴E( ,
)或(
,
)
综上,满足条件的点E的坐标为(0,1)、( ,
)或(
,
)
(4)解:如图3,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,
设Q(x,x+1),则P(x,-x2+2x+3)
∴PQ=(-x2+2x+3)-(x+1)
=-x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ
= PQAG
= (-x2+x+2)×3
=- (x-
)2+
∴面积的最大值为
【解析】(1)由A,C两点的坐标,用待定系数法求出抛物线和直线AC的函数关系式;(2)由使MN+MD的值最小,得到当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,求出m的值;(3)由(1)、(2)得到D,B的坐标,由点E在直线AC上,求出点E的坐标;当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,由F在抛物线上,求出点E的坐标;(4)根据题意得到PQ的代数式,由三角形的面积公式S△APC=S△APQ+S△CPQ= PQAG,求出△APC的面积的最大值;此题是综合题,难度较大,计算和解方程时需认真仔细.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(1)材料1:一般地,n个相同因数a相乘: 记为
如
,此时,3叫做以2为底的8的对数,记为log28(即log28=3).那么,log39=________,
=________;
(2)材料2:新规定一种运算法则:自然数1到n的连乘积用n!表示,例如:1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=4×3×2×1=24,…在这种规定下,请你解决下列问题:
①算5!=________;
②已知x为整数,求出满足该等式的.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.
(1)求新传送带AC的长度;
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道,试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.(说明:(1)(2)的计算结果精确到0.1米,参考数据: ≈1.41,
≈1.73,
≈2.24,
≈2.45)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数y=(m+1)x+2m-6.
(1)若函数图象过(-1,2),求此函数的解析式;
(2)若函数图象与直线y=2x+5平行,求其函数的解析式;
(3)求满足(2)条件的直线与直线y=-3x+1的交点,并求这两条直线与y轴所围成的三角形面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】用正方形硬纸板做三棱柱盒子,每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成。硬纸板以如图两种方式裁剪(裁剪后边角料不再利用)
A方法:剪6个侧面; B方法:剪4个侧面和5个底面。
现有19张硬纸板,裁剪时张用A方法,其余用B方法。
(1)用的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数;
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,问能做多少个盒子?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】阅读以下材料:
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550﹣1617年),纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707﹣1783年)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义:一般地,若ax=N(a>0,a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作:x=logaN.比如指数式24=16可以转化为4=log216,对数式2=log525可以转化为52=25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:loga(MN)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0);理由如下:
设logaM=m,logaN=n,则M=am,N=an
∴MN=aman=am+n,由对数的定义得m+n=loga(MN)
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga(MN)=logaM+logaN
解决以下问题:
(1)将指数43=64转化为对数式_____;
(2)证明loga=logaM﹣logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(3)拓展运用:计算log32+log36﹣log34=_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,横、纵坐标都为整数的点称为整点.如图,从内向外依次为第,
,
,
,
个正方形(实线),若整点
在第
个正方形的边上,则
,
,
之间满足的数量关系为_______.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH;
(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是______形,根据的数学原理是:_______________________;
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是_______形,根据的数学原理是:_____________________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两人进行摸牌游戏.现有三张形状大小完全相同的牌,正面分别标有数字2,3,5.将三张牌背面朝上,洗匀后放在桌子上.
(1)甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张.请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取相同数字的概率;
(2)若两人抽取的数字和为2的倍数,则甲获胜;若抽取的数字和为5的倍数,则乙获胜.这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com