Question

5．在△ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM、CM的延长线分别交AC、AB于F、E，求证：EF∥BC．

Answer 1

分析 延长AD到N，使DN=AD，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可得四边形ABNC为平行四边形，则AC∥BN，AC=BN，再根据平行线分线段成比例定理，由AF∥BN得$\frac{AF}{BN}$=$\frac{AM}{MN}$，即有$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AM}{MN}$，同理可得$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AM}{MN}$，所以$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，加上∠EAF=∠BAC，则可判断△AEF∽△ABC，所以∠AEF=∠ABC，于是根据平行线的判定即有EF∥BC．

解答 证明：延长AD到N，使DN=AD，
∵BD=CD，
∴四边形ABNC为平行四边形，
∴AC∥BN，AC=BN，
∴$\frac{AF}{BN}$=$\frac{AM}{MN}$，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AM}{MN}$，
同理可得$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AM}{MN}$，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，
∵∠EAF=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴∠AEF=∠ABC，
∴EF∥BC．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的判定与性质．