【题目】如图1,在中,为锐角,点为射线上一点,联结,以为一边且在的右侧作正方形.
(1)如果,,
①当点在线段上时(与点不重合),如图2,线段所在直线的位置关系为 ,线段的数量关系为 ;
②当点在线段的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(2)如果,是锐角,点在线段上,当满足什么条件时,(点不重合),并说明理由.
【答案】(1)①垂直,相等;②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立,证明见解析;(2)当∠ACB=45时,CF⊥BD,理由见解析.
【解析】试题分析:(1)①点在线段上时,根据等腰直角三角形的性质,即可得出 ②当点D在BC的延长线上时,①的结论仍成立.由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,所以CF=BD,∠ACF=∠ABD.结合 得到 即
(2)当时, 过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G,则∠GAC=,可推出 所以 由(1)①中的方法可得CF⊥BC.
试题解析:(1)①如图2,易证△DAB≌△FAC(SAS),
即BD⊥CF;
故答案为:垂直,相等;
②如图3所示,当点D在BC的延长线上时,①中的结论仍成立,
证明:由正方形ADEF得,AD=AF,∠DAF=.
∵∠BAC=,
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
又∵AB=AC,
∴△DAB≌△FAC(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD.
∵∠BAC=,AB=AC,
,即CF⊥BD;
(2)如图4所示,当时,CF⊥BD.
理由:过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G,则∠GAC=,
∴∠ACB=∠AGC,
∴AC=AG,
又∵∠DAG=∠FAC(同角的余角相等),AD=AF,
∴△GAD≌△CAF(SAS),
即CF⊥BC.
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【题目】(1)如图,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点O、B),作MN⊥DM,垂足为M,且MN=DM.设OM=a,请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标______(用含a的代数式表示);
(2)如果(1)的条件去掉“且MN=DM”,加上“交∠CBE的平分线与点N”,如图,求证:MD=MN.如何突破这种定势,获得问题的解决,请你写出你的证明过程.
(3)在(2)的条件下,如图,请你继续探索:连接DN交BC于点F,连接FM,下列两个结论:①FM的长度不变;②MN平分∠FMB,请你指出正确的结论,并给出证明.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,x=是该抛物线的对称轴,根据图中所提供的信息,请写出有关a,b,c的四条结论,并简要说明理由.
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【题目】已知,,求的值.
解:根据算术平方根的定义,
由,得,所以①……第一步
根据立方根的定义,
由,得②……第二步
由①②解得……第三步
把代入中,得……第四步
(1)以上解题过程存在错误,请指出错在哪些步骤,并说明错误的原因;
(2)把正确解答过程写出来.
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【题目】某工厂计划生产两种产品共10件,其生产成本和销售价如下表所示:
产品 | 种产品 | 种产品 |
成本(万元/件) | 3 | 5 |
售价(万元/件) | 4 | 7 |
(1)若工厂计划获利14万元,则应分别生产两种产品多少件?
(2)若工厂投入资金不多于44万元,且获利不少于14万元,则工厂有哪些生产方案?
(3)在第(2)的条件下,哪种方案获利最大;最大利润是多少?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.
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【题目】某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用32000元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用68000元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每套进价多了10元.
(1)该商场两次共购进这种运动服多少套?
(2)如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润不低于20%,那么每套售价至少是多少元?
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,OA1=1,将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放,其中每两个正方形的间距都是1,则点A2017的坐标为 .
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