Question

【题目】如图，抛物线过点A（，2），且与直线交于B、C两点，点B的坐标为（，m）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；

（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使得∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PD+PA的最小值为；（3）Q1（0，2-）、Q2（0，2+）．

【解析】

（1）将点B的坐标为（-4，m）代入，，B的坐标为（-4，），将A（-3，2），B（-4，）代入y=x2+bx+c，解得b=-1，c=，因此抛物线的解析式y=x2-x+；

（2）设D（m，m2-m+），则E（m，m+），DE=（m2-m+）-（m+）=m2-2m=（m+2）2+2，当m=-2时，DE有最大值为2，此时D（-2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA=PD+PA'=A'D，此时PD+PA最小；

（3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，由M（-1，4），A（-3，2），可得AH=MH=2，H（-1，2）因为∠AQM=45°，∠AHM=90°，所以∠AQM=∠AHM，可知△AQM外接圆的圆心为H，于是QH=HA=HM=2设Q（0，t），则，t=2+或2-，求得符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2-）、Q2（0，2+）．

解：（1）将点B的坐标为（-4，m）代入，得m=-4+=-，

∴B的坐标为（-4，-），

将A（-3，2），B（-4，-）代入y=-x2+bx+c，

解得b=-1，c=，

∴抛物线的解析式y=x2-x+；

（2）设D（m，m2-m+），则E（m，m+），

DE=（m2-m+）-（m+）=m2-2m=-（m+2）2+2，

∴当m=-2时，DE有最大值为2，

此时D（-2，），

作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．

PD+PA=PD+PA'=A'D，此时PD+PA最小，

∵A（-3，2），

∴A'（1，2），

A'D=，

即PD+PA的最小值为；

（3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，

∵抛物线的解析式，

∴M（-1，4），

∵A（-3，2），

∴AH=MH=2，H（-1，2）

∵∠AQM=45°，∠AHM=90°，

∴∠AQM=∠AHM，

可知△AQM外接圆的圆心为H，

∴QH=HA=HM=2

设Q（0，t），

则，

解得，t=2+或2-

∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2-）、Q2（0，2+）．