Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BCCF=2HE．其中正确的结论有( )

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；

②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；

③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；

④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE-AH=BC-CD，BC-CF=BC-（CD-DF）=2HE，判断出④正确．

解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE=AB，

∵AD=AB，

∴AE=AD，

在△ABE和△AHD中，

，

∴△ABE≌△AHD（AAS），

∴BE=DH，

∴AB=BE=AH=HD，

∴∠ADE=∠AED=（180°-45°）=67.5°，

∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴∠AED=∠CED，故①正确；

∵AB=AH，

∵∠AHB=（180°-45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），

∴∠OHE=67.5°=∠AED，

∴OE=OH，

∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，

∴∠DHO=∠ODH，

∴OH=OD，

∴OE=OD=OH，故②正确；

∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，

∴∠EBH=∠OHD，

在△BEH和△HDF中，

，

∴△BEH≌△HDF（ASA），

∴BH=HF，HE=DF，故③正确；

∵HE=AE-AH=BC-CD，

∴BC-CF=BC-（CD-DF）=BC-（CD-HE）=（BC-CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；

综上所述，结论正确的是①②③④共4个．

故选：D．