Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，BC是∠ABE的平分线且交⊙O于点C，连接AC，CE，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D．

（1）∠DCE　 　∠CBE；（填“＞”“＜”或“＝”）

（2）求证：DC是⊙O的切线；

（3）若⊙O的直径为10，sin∠BAC＝，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）＝；（2）见解析；（3）2.8．

【解析】

（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，求得∠ACB＝∠D，根据角平分线的性质得到∠ABC＝∠CBD，通过相似三角形得到∠BAC＝∠BCD，四边形ABEC是圆内接四边形，得出∠CED＝∠BAC，根据余角的性质即可证得∠DCE＝∠CBE；

（2）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB，等量代换得到∠OCB＝∠CBD，证得OC∥BD，即可证得OC⊥CD，即可得到结论；

（3）解直角三角形ABC求得BC，进而求得AC，通过三角形相似的性质得出CD＝4.8，BD＝6.4，进而求得DE＝3.6，即可求得BE＝2.8．

（1）解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CD⊥BE

∠D＝90°，

∴∠ACB＝∠D，

∵BC是∠ABE的平分线，

∴∠ABC＝∠CBD，

∴△ABC∽△CBD，

∴∠BAC＝∠BCD，

∵四边形ABEC是圆内接四边形

∴∠CED＝∠BAC，

∵∠DBC+∠BCD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°

∴∠DCE＝∠CBE；

故答案为：＝；

（2）证明：连接OC，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵∠ABC＝∠CBD

∴∠OCB＝∠CBD，

∴OC∥BD，

∵CD⊥BD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（3）解：∵⊙O的直径为10，sin∠BAC＝，

∴sin∠BAC＝＝，

∴BC＝8，

∴AC＝＝6，

∵△ABC∽△CBD，

∴＝＝，即＝＝，

∴CD＝4.8，BD＝6.4，

∵∠CDE＝∠ACB＝90°，∠CED＝∠BAC，

∴△CED∽△BAC，

∴＝，即＝，

∴DE＝3.6，

∴BE＝BD﹣DE＝6.4﹣3.6＝2.8．