[题目]如图1.已知抛物线经过A(-3.0).B(1.0).C(0.-3)三点.其顶点为D.对称轴是直线.与x轴交于点H．(1)求该抛物线的解析式,(2)若点P是该抛物线对称轴上的一个动点.求△PBC周长的最小值,(3)如图2.若E是线段AD上的一个动点(E与A.D不重合).过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F.交x轴于点G.设点E的横坐标为m.△ADF的面积为S．①试求S与m� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图1，已知抛物线经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)三点，其顶点为D，对称轴是直线，与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值；

（3）如图2，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．

①试求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）

（2）＋

（3）①S＝；②存在，S最大值为1，E(－2，－2)

【解析】

（1）设交点式，然后把点坐标代入求出即可得到抛物线解析式；

（2）利用配方法得到，从而得到，抛物线的对称轴为直线，连接交直线于，如图1，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，周长的最小值，然后利用勾股定理计算出和即可得到周长的最小值；

（3）①如图2，先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，则，则可表示出，根据三角形面积公式，利用得到；

②先利用配方法得到，然后根据二次函数的性质解决问题．

解：（1）由题意得，解得

∴该抛物线的表达式为

（2）∵△PBC的周长为：PB＋PC＋BC

又∵BC是定值

∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小．

∵点A，点B关于对称轴l对称．

∴连接AC交l于点P，即点P为所求点．

∴AP＝BP

∴△PBC的周长最小值是：PB＋PC＋BC＝AC＋BC

∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)

∴AC＝，BC＝

故△PBC的周长最小值为＋

（3）①∵抛物线的表达式为＝

∴点D的坐标为(－1，－4)

设直线AD的表达式为，把点A(－3，0)，D(－1，－4)代入

得，解得

∴直线AD的表达式为

∵点E的横坐标为m．

∴E(m，－2m－6)，F(m，)

∴EF＝＝

∴S＝

＝

∴S与m的函数表达式为S＝

②存在．

∵S＝＝

∴当m＝－2时，S最大，最大值为1．

此时点E的坐标为(－2，－2)．

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会求抛物线与轴的交点坐标；能利用两点之间线段最短解决最短路径问题．

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