Question

【题目】已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，OC=4，∠OAC=60°．

(Ⅰ)如图①，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，求∠P的大小；

(Ⅱ)如图②，P为AB上一点，CP延长线与⊙O交于点Q．若AQ=CQ，求∠APC的大小及PA的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）30°；（Ⅱ）45°；2+

【解析】

（Ⅰ）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，得出∠AC=OC=4，AOC=60°，根据切线的性质得出∠OCP=90°，进而求得∠P=∠ACP=30°；
（Ⅱ）作CD⊥AB于D，根据圆周角定理求得∠Q=30°，根据等腰三角形的性质求得∠QAC=∠QCA=75°，∠OAC=∠OCA=60°，即可求得∠QAO=∠QCO=15°，根据三角形外角的性质求得∠APC=45°，得出△PCD是等腰直角三角形，解直角三角形求得CD，AD，即可求得PA．

解：（Ⅰ）∵OA=OC，∠OAC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OC=4，∠AOC=60°，
∵过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，
∴∠OCP=90°，
∴∠P=∠ACP=30°；
（Ⅱ）作CD⊥AB于D，
∵∠AOC=60°，
∴∠Q=30°，
∵AQ=CQ，
∴∠QAC=∠QCA=75°，
∵∠OAC=∠OCA=60°，
∴∠QAO=∠QCO=15°，
∵∠AOC=∠POC+∠APC，
∴∠APC=60°-15°=45°，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴PD=CD，
∵CD=AC=，AD=AC=2，

∴PD=，

∴PA=AD+PD=2+.