Question

【题目】对于平面直角坐标系中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，的半径为1．

（1）若，

①求的值；

②若点C在直线上，求的最小值；

（2）以点A为中心，将线段顺时针旋转得到，点E在线段组成的图形上，若对于任意点E，总有，直接写出b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①3；②；（2）或

【解析】

（1）①直接利用圆外一点到圆上的一点的最大距离，即可得出结论；
②先判断出OC⊥AB时，OC最短，即可得出结论；
（2）Ⅰ、当b＞0时，当直线AB与⊙O相切时，d（E，⊙O）最小，当点E恰好在点D时，d（E，⊙O）最大，即可得出结论；
Ⅱ、当b＜0时，同Ⅰ的方法即可得结论．

解：（1）①根据题意可知．

．

②如图，过点O作于点C，此时取得最小值．

直线与x轴交于点A，

．

．

．

．

的最小值为．

（2）或

Ⅰ、当b＞0时，如图2，

针对于直线y=x+b（b≠0），
令x=0，则y=b，
∴B（0，b），
∴OB=b，
令y=0，则0=x+b，
∴x=b，
∴A（b，0），
∴OA=b，
则AB=2b，tan∠OAB==，
∴∠OAB=30°，
由旋转知，AD=AB=2b，∠BAD=120°，

则有∠OAD=90°，
连接OD，
∴OD==b，
∵⊙O的半径为1，
∴当线段AB与⊙O相切时，d（E，⊙O）最小=2，
同（1）的方法得，OF==1，
∴b=（舍去负值），
对于任意点E，总有2≤d（E，⊙O）＜6，
∴b＜6-1，
∴b＜，
即≤b＜；
Ⅱ、当b＜0时，如图3，

同Ⅰ的方法得，-＜b≤-，
综上述，-＜b≤-或≤b＜．