Question

【题目】解答题
（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE=CD；

（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长．

（3）如图3，四边形ABCD中，∠CAB=90°，∠ADC=∠ACB=α，tanα= ，CD=5，AD=12，求BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1，分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD，再分别以A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于点E，连接AE、CE，则△ABD、△ACE就是所求作的等边三角形；

证明：如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAC=∠BAE，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴BE=CD

（2）

解：如图2，过A作AE⊥AD，使AD=AE=3，连接DE、CE，

由勾股定理得：DE= =3 ，

∴∠EDA=45°，

∵∠ADC=45°，

∴∠EDC=∠EDA+∠ADC=90°，

∵∠ACB=∠ABC=45°，

∴∠CAB=90°，

∴∠CAB+∠DAC=∠EAD+∠DAC，

即∠EAC=∠DAB，

∵AE=AD，AC=AB，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴EC=BD，

在Rt△DCE中，EC= = = ，

∴BD=EC=

（3）

解：如图3，作直角三角形DAE，使得∠DAE=90°，

∠EDA=∠ABC，连接EC，

容易得到△DAE∽△BAC，

∴ ，即 ，

∵∠DAE=∠BAC=90°，

∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠DAB，

∴△EAC∽△DAB，

∴ ，

在△DCE中，∠ADC=∠ACB，

∠EDA=∠ABC，

∴∠EDC=90°，

∵ ，AD=12，

∴AE=9，∠DAE=90°，

∴DE= =15，

CE= =5 ，

由△EAC∽△DAB，

∴

BD= ．

【解析】（1）作图：分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD；再分别以A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于E，连接AE、CE，则△ABD、△ACE就是所求作的等边三角形；
利用等边三角形的性质证明△DAC≌△BAE可以得出结论；（2）如图2，作辅助线后，证明△DAB≌△EAC得：EC=BD，在Rt△DCE中，利用勾股定理求EC的长，则BD=EC= ；（3）如图3，构建直角△DAE，根据同角的三角函数求AE和DE的长，从而可以得到EC的长，利用三角形相似可以得BD的长．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用相似三角形的应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．