Question

【题目】如图1，直线交轴于点A，交轴于点C（0,4）.抛物线经过点A，交轴于点B（0，-2）.点P为抛物线上一个动点，经过点P作轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；

（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）当△BPD为等腰直角三角形时，PD的长为.

（3）,,.

【解析】

试题分析：（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式即可；（2）设点P的横坐标为,可得P（m，），D（m，-2），若△BPD为等腰直角三角形，则PD=BD.分两种情况：①当点P在直线BD的上方时，PD=,再分点P在y轴的左侧和右侧两种情况，列方程求解即可；②当点P在直线BD的下方时，m＞0，BD=m，PD=,列方程求解即可；（3）∵∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4；∴AC=5，∴sin∠PBP/=，cos∠PBP/=，①当点P/落在x轴上时，过点D/作D/N⊥x轴于N，交BD于点M，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,如图1，ND/-MD/=2,即×（m2-m）-（-m）=2；如图2，ND/-MD/=2，即×（m2-m）-（-m）=2解得：P（－，）或P（，）；②当点P/落在y轴上时，

如图3，过点D/作D/M⊥x轴交BD于点M，过点P/作P/N⊥y轴，交MD/的延长线于点N，∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,∵PN=BM,即 ×（m2-m）= m∴P（，）

试题解析：（1）由直线过点C（0,4），得n=4，∴.

当y=0时，，解得x=3，∴A（3,0）.

∵抛物线经过点A（3,0），B（0，-2），

∴，解得

∴.

（2）设点P的横坐标为,∴P（m，），D（m，-2）.

若△BPD为等腰直角三角形，则PD=BD.

①当点P在直线BD的上方时，PD=,

（Ⅰ）若点P在y轴的左侧，则m＜0，BD=-m，

∴，

解得（舍去）.

（Ⅱ）若点P在y轴的右侧，则m＞0，BD=m，

∴，

解得.

②当点P在直线BD的下方时，m＞0，BD=m，PD=,

∴，

解得.

综上m=.

即当△BPD为等腰直角三角形时，PD的长为.

（3）,,.