如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC上一点，沿BD折叠△ABC，使A点落在BC边上的点E处，M为边BC的中点，MN⊥BD与点H，N在AB边上，连接NE交BD于点G，过点N作BD的平行线交AC于点F，下列结论：①AB=$\sqrt{2}$BN；②四边形DFNG为平行四边形；③△BMN∽△EDG；④AN=DF．其中正确结论的个数是（ ）| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
分析 ①根据题意可知BA=BE，BN=BM，根据等腰直角三角形的性质进行计算，得到①正确；
②计算出BC、BE的关系和BA、BN的关系，根据平行线的判定，证明NE∥AC，得到②正确；
③根据题意分别求出，∠BNM、∠BMN的度数和∠DGE、∠GDE的度数，证明△BMN∽△EDG，得到③正确；
④根据角平分线的性质用BN表示NA、NG，得到相等关系，证明④正确．
解答 证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{2}$AB，
∵M为BC的中点，
∴2BM=$\sqrt{2}$AB，AB=$\sqrt{2}$BM，
∵∠NBH=∠MBH，BH⊥MN，
∴BN=BM，∴AB=$\sqrt{2}$BN，
∴①正确；
∵BE=BA，
∴BC=$\sqrt{2}$BE，
又∵AB=$\sqrt{2}$BN，
∴NE∥AC，又NF∥BD，
∴四边形DFNG为平行四边形，
∴②正确；
∵NE∥AC，
∴∠BNE=90°，
∵∠NBG=22.5°，
∴∠NGB=67.5°，
∴∠DGE=67.5°，
∵∠BED=90°，∠DBE=22.5°，
∴∠GDE=67.5°，
∵BM=BN，∠NBM=45°，
∴∠BNM=∠BMN=67.5°，
∴△BMN∽△EDG，
∴③正确；
∵BG平分∠NBE，
∴$\frac{BN}{BE}$=$\frac{NG}{EG}$，NG=（$\sqrt{2}-1$）NE，
AN=（$\sqrt{2}$-1）BN，
∵∠BNE=90°，∠NBM=45°，
∴NB=NE，
∴NA=NG，
又∵NG=DF，
∴AN=DF，
∴④正确．
故选：D．
点评 本题综合考查了等腰直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和角平分线的性质，综合性强，难度较大，解答时，需要学生具有综合运用知识的能力．
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