【题目】如图,抛物线y=-[(x-2)2+n]与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+3,0)(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.
(1)求m,n的值;
(2)点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN,BN.求△NBC面积的最大值.
【答案】(1)m=1,n=-9;(2).
【解析】试题分析:(1)由抛物线解析式可得出抛物线的对称轴为直线x=2,又由点A和点B是抛物线与x轴的交点,则A和B关于对称轴对称,则=2,便可求得m,得出点A和点B坐标,将A坐标代入抛物线便求得n;
(2)过点N作ND∥y轴交BC于D.先求得BC解析式,设点N坐标(x,-x2+x+3),便可得点D坐标,则得ND的值,由S△NBC=S△NDC+S△NDB=×5×ND得S△NBC关于x的二次函数,便可求得最大值.
解:(1)∵抛物线的解析式为y=-[(x-2)2+n]=-(x-2)2-n,∴抛物线的对称轴为直线x=2.∵点A和点B关于直线x=2对称,∴=2,解得m=1,∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(5,0).把A(-1,0)代入y=-[(x-2)2+n]得9+n=0,解得n=-9.
(2)过点N作ND∥y轴交BC于D.由(1)可得抛物线的解析式为y=-[(x-2)2-9]=-x2+x+3.当x=0时,y=3,则点C的坐标为(0,3).设直线BC的解析式为y=kx+b,把B(5,0),C(0,3)代入y=kx+b得 ,解得 .∴直线BC的解析式为y=-x+3.设点N的坐标为(x,-x2+x+3),则点D的坐标为(x,-x+3),∴ND=-x2+x+3-(-x+3)=-x2+3x,∴S△NBC=S△NDC+S△NDB=×5×ND=(-x2+3x)=-x2+x=- +,当x=时,△NBC面积最大,最大值为.
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【题目】定义一种新运算:a⊕b=
(1)请写出函数y=x⊕1的解析式,并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象;
(2)观察(1)中图象,探究得到y的最小值是 .
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【题目】如图,已知AB⊥BC于点B,CD⊥BC于点C,AB=4,CD=6,BC=14,P为BC边上一点,试问BP为何值时,以A,B,P为顶点的三角形与以P,C,D为顶点的三角形相似?
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.
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【题目】在一款名为超级玛丽的游戏中,玛丽到达一个高为10米的高台A,利用旗杆顶部的绳索,划过90°到达与高台A水平距离为17米,高为3米的矮台B,求旗杆的高度OM和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN.
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【题目】如图,小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°,然后前进12米到达C处,又测得楼顶E的仰角为60°,求楼EF的高度.(结果精确到0.1米)
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【题目】已知方程组的解x、y满足:x为非正数,y为负数.
(1)求a的取值范围;
(2)在a的取值范围中,当a为何整数时,关于x的不等式2ax+x>2a+1的解集为x<1.
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【题目】研究表明,温度对生猪词养有一定的影响.下图是某生猪饲养场查阅的下周天气预报情况,根据图中信息回答下列问题:
(1)周二的最高气温与最低气温分别是多少?
(2)图中点A表示的实际意义是什么?
(3)当一天内的温差超过12C时,生猪可能出现生理异常.为了预防生猪生理异常,养殖场需要在哪几天进行人工调节温度?
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,第一象限内长方形ABCD,AB∥y轴,点A(1,1),点C(a,b),满足 +|b﹣3|=0.
(1)求长方形ABCD的面积.
(2)如图2,长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度向右平移,同时点E从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t秒.
①当t=4时,直接写出三角形OAC的面积为 ;
②若AC∥ED,求t的值;
(3)在平面直角坐标系中,对于点P(x,y),我们把点P′(﹣y+1,x+1)叫做点P的伴随点,已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An.
①若点A1的坐标为(3,1),则点A3的坐标为 ,点A2014的坐标为 ;
②若点A1的坐标为(a,b),对于任意的正整数n,点An均在x轴上方,则a,b应满足的条件为 .
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