Question

【题目】如图，抛物线y＝－[(x－2)2＋n]与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋3，0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC.

(1)求m，n的值；

(2)点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN，BN.求△NBC面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）m＝1，n＝－9；（2）.

【解析】试题分析：（1）由抛物线解析式可得出抛物线的对称轴为直线x＝2，又由点A和点B是抛物线与x轴的交点，则A和B关于对称轴对称，则＝2，便可求得m，得出点A和点B坐标，将A坐标代入抛物线便求得n；

（2）过点N作ND∥y轴交BC于D.先求得BC解析式，设点N坐标(x，－x2＋x＋3)，便可得点D坐标，则得ND的值，由S△NBC＝S△NDC＋S△NDB＝×5×ND得S△NBC关于x的二次函数，便可求得最大值.

解：(1)∵抛物线的解析式为y＝－[(x－2)2＋n]＝－(x－2)2－n，∴抛物线的对称轴为直线x＝2.∵点A和点B关于直线x＝2对称，∴＝2，解得m＝1，∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(5，0)．把A(－1，0)代入y＝－[(x－2)2＋n]得9＋n＝0，解得n＝－9.

(2)过点N作ND∥y轴交BC于D.由(1)可得抛物线的解析式为y＝－[(x－2)2－9]＝－x2＋x＋3.当x＝0时，y＝3，则点C的坐标为(0，3)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，把B(5，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b得 ，解得 .∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点N的坐标为(x，－x2＋x＋3)，则点D的坐标为(x，－x＋3)，∴ND＝－x2＋x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x，∴S△NBC＝S△NDC＋S△NDB＝×5×ND＝(－x2＋3x)＝－x2＋x＝－ ＋，当x＝时，△NBC面积最大，最大值为.