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【题目】如图,抛物线y=-[(x-2)2n]x轴交于点A(m-2,0)B(2m+3,0)(A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.

(1)mn的值;

(2)N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CNBN.求△NBC面积的最大值.

【答案】(1)m=1,n=-9;(2).

【解析】试题分析:(1)由抛物线解析式可得出抛物线的对称轴为直线x2,又由点A和点B是抛物线与x轴的交点,则AB关于对称轴对称,则2,便可求得m,得出点A和点B坐标,将A坐标代入抛物线便求得n;

(2)过点NNDy轴交BCD.先求得BC解析式,设点N坐标(x,-x2x3),便可得点D坐标,则得ND的值,由SNBCSNDCSNDB×5×NDSNBC关于x的二次函数,便可求得最大值.

解:(1)∵抛物线的解析式为y=-[(x-2)2n]=-(x-2)2n∴抛物线的对称轴为直线x=2.∵点A和点B关于直线x=2对称,∴=2,解得m=1,∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(5,0).把A(-1,0)代入y=-[(x-2)2n]9+n=0,解得n=-9.

(2)过点NNDy轴交BCD.(1)可得抛物线的解析式为y=-[(x-2)2-9]=-x2x+3.x=0时,y=3,则点C的坐标为(0,3).设直线BC的解析式为ykxb,把B(5,0),C(0,3)代入ykxb解得 .∴直线BC的解析式为y=-x+3.设点N的坐标为(x,-x2x+3),则点D的坐标为(x,-x+3),ND=-x2x+3-(-x+3)=-x2+3xSNBCSNDCSNDB×5×ND(-x2+3x)=-x2x=- ,当x时,△NBC面积最大,最大值为.

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①若点A1的坐标为(31),则点A3的坐标为    ,点A2014的坐标为  

②若点A1的坐标为(ab),对于任意的正整数n,点An均在x轴上方,则ab应满足的条件为   

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