Question

1．在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为6.5或1.5．

Answer 1

分析 两种情况：①由矩形的性质得出CD=AB=3，BC=AD=5，∠ADB=∠CDF=90°，由菱形的性质得出CF=EF=BE=BC=5，由勾股定理求出DF，得出MF，即可求出AM；②同①得出AE=4，求出ME，即可得出AM的长．

解答 解：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，BC=AD=5，∠ADB=∠CDF=90°，
∵四边形BCFE为菱形，
∴CF=EF=BE=BC=5，
∴DF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AF=AD+DF=9，
∵M是EF的中点，
∴MF=$\frac{1}{2}$EF=2.5，
∴AM=AF-DF=9-2.5=6.5；
②如图2所示：同①得：AE=4，
∵M是EF的中点，
∴ME=2.5，
∴AM=AE-ME=1.5；
综上所述：线段AM的长为：6.5，或1.5；
故答案为：6.5，或1.5．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形和菱形的性质，运用勾股定理进行计算和分类讨论是解决问题的关键．