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    6．如图，O为坐标原点，点A在x正半轴上，OA=2，将线段OA绕点O逆时针旋转150°至OB的位置，若经过点A、O、B三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．
    （1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
    （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）若点D是线段OB下方抛物线上的动点，求四边形ABDO面积的最大值．

    分析 （1）过点B作BC⊥OC，垂足为C，由题意可知∠BOC=30°，OB=2，先求得点B的坐标，然后将点A、O、B的坐标代入抛物线的解析式，从而可求得a、b、c的值；
    （2）先求得抛物线的对称轴为x=1，设点P的坐标为（1，a），由两点间的距离公式求得PO、PB的长，然后分为PO=PB，OB=BP，BP=BO三种情况列方程求解即可；
    （3）过点D作x轴的垂线，交OB于点C．先求得直线OB的解析式为y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$x．设点D的坐标为（a，$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$a2+$\frac{6-4\sqrt{3}}{3}$a），则点C的坐标为（a，-$\frac{\sqrt{3}}{3}a$），从而可表示出DC的长，由三角形的面积公式可求得△OBD的面积与a的函数关系式，由二次函数的性质可求得△OBD的面积的最大值，然后再求得△AOB的面积，从而可求得四边形AODB的最大面积．

    解答 解：（1）如图所示：过点B作BC⊥OC，垂足为C．

    ∵∠BOA=150°，OB=OA，
    ∴∠BOC=30°，OB=2．
    ∴BC=1，OC=$\sqrt{3}$．
    ∴点B的坐标为（-$\sqrt{3}$，1）．
    将（0，0）、（2，0）、（-$\sqrt{3}$，1）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{3a-\sqrt{3}b+c=1}\end{array}\right.$，
    解得：c=0，a=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$，b=$\frac{6-4\sqrt{3}}{3}$，
    故抛物线的解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$x2+$\frac{6-4\sqrt{3}}{3}$x．
    （2）由x=-$\frac{b}{2a}$可知；x=1．
    设点P的坐标为（1，a）．
    当OP=OB时，由点间的距离公式可知：12+a2=2，解得a=±$\sqrt{3}$，
    ∵a=±$\sqrt{3}$，
    ∴点P的坐标为（1，$\sqrt{3}$）或（1，-$\sqrt{3}$）．
    当PO=PB时，由两点间的距离公式可知；12+a2=（1+$\sqrt{3}$）2+（a-1）2，解得：a=2+$\sqrt{3}$．
    ∵a=2+$\sqrt{3}$．
    ∴点P的坐标（1，2+$\sqrt{3}$）．
    当PB=OB时．
    ∵PB≥$\sqrt{3}$+1，OB=2，
    ∴PB＞OB．
    ∴此种情况不成立．
    ∴点P的坐标为（1，$\sqrt{3}$）或（1，-$\sqrt{3}$）或（1，2+$\sqrt{3}$）．
    （3）如图2所示：过点D作x轴的垂线，交OB于点C．

    设OB的解析式为y=kx．
    ∵将点B的坐标代入得：-$\sqrt{3}$k=1，解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
    ∴直线OB的解析式为y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
    设点D的坐标为（a，$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$a2+$\frac{6-4\sqrt{3}}{3}$a），则点C的坐标为（a，-$\frac{\sqrt{3}}{3}a$）．
    ∴△OBD的面积=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×（$\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$a2+$\frac{3\sqrt{3}-6}{3}$a）=$\frac{3\sqrt{3}-6}{6}{a}^{2}+\frac{9-6\sqrt{3}}{6}$a．
    ∴当a=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$时，△OBD的面积最大值，△OBD的面积的最大值=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．
    ∵△AOB的面积=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
    ∴四边形AODB的最大面积=1+$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4-\sqrt{3}}{2}$．

    点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、两点间的距离公式、特殊锐角三角函数值、二次函数的最值，求得△OBD的面积与点D的横坐标之间的函数关系式是解题的关键．

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