Question

【题目】如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．

（1）求证：DC=BC；

（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，求证DC=BC可以证明∠CAD=∠BAC，进而证明；
（2）AB=5，AC=4，根据勾股定理就可以得到BC=3，易证△ACE∽△ABC，求出EC和ED即可．

（1）证明：连接OC·

∵OA＝OC

∴∠OAC＝∠OCA

∵CE是⊙O的切线

∴∠OCE＝90°

∵AE⊥CE

∴∠AEC＝∠OCE＝90°

∴OC∥AE

∴∠OCA＝∠CAD ∴∠CAD＝∠BAC

∴

∴DC＝BC；

（2）∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB＝90°

∴·

∵∠CAE＝∠BAC ∠AEC＝∠ACB＝90°

∴△ACE∽△ABC

∴，∴，∴

∵DC＝BC＝3

∴，

∴.