Question

【题目】如图，等边△ABC的边长为2，点D是射线BC上的一个动点，以AD为边向右作等边△ADE，连结CE，

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）若CE＝，求△ACD的面积；

（3）若△ACE是直角三角形，则BD的长是　 　（直接写出答案）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）S△ACD＝；（3）1或4．

【解析】

（1）构建两边及其夹角对应相等的两个三角形全等即可证明．
（2）如图2中，作AM⊥BC于M．由（1）可知BD=CE=，求出CD、AM即可解决问题．
（3）分两种情形①如图3中，当∠AEC=90°时，②如图4中，当∠CAE=90°时，分别求解即可．

（1）证明：如图1中，

∵△ABC，△ADE是等边三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE．

（2）解：如图2中，作AM⊥BC于M．

∵△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE＝，∵AB＝BC＝2，

∴CD＝BC﹣BD＝，

在Rt△ABM中，∵∠AMB＝90°，∠BAM＝30°，AB＝2，

∴AM＝ABcos30＝，

∴S△ACD＝CDAM＝××＝．

（3）解：如图3中，当∠AEC＝90°时，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠B＝∠ACE＝60°，

∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝30°，

∴EC＝BD＝AC＝1．

如图4中，当∠CAE＝90°时，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠B＝∠ACE＝60BD＝CE，

∴∠CEA＝90°﹣∠ACE＝30°，

∴EC＝2AC＝4，

∴BD＝CE＝4．

综上所述，BD＝1或4时，△ACE是直角三角形．