Question

【题目】如图，点A在⊙0上，点P是⊙0外一点．PA切⊙0于点A．连接OP交⊙0于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙0于点B，连接PB.

(1)求证：PB是⊙0的切线；

(2)若PC=9，AB=6，求图中阴影部分的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）先证明△AOP≌△BOP，由PA切⊙O于点A得∠PAO＝90°，所以∠PBO＝∠PAO＝90°，可得结论；

（2）先根据垂径定理得：BC＝，然后证明△PBC∽△BOC，根据对应边成比例求出OC=3，再利用勾股定理求圆的半径OB的长，利用三角函数得∠COB＝60°，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求S△OPB和S扇形BOD的值，最后利用面积差得结论；

解：（1）证明：如图1，连接OB，

∵OA=OB,OP⊥AB，

∴AC=BC，∠AOC=∠BOC

∴OP垂直平分AB，

∵OA=OB，∠AOC=∠BOC,OP=OP，

∴△AOP≌△BOP（SAS），

∴∠PAO=∠PBO，

∵PA切⊙O于点A，

∴AP⊥OA，即∠PAO=90°，

∴∠PBO=∠PAO=90°，

∴OB⊥BP，

又∵点B在⊙O上，

∴PB是⊙O的切线.

（2）∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴

∵∠PBO=∠BCO=90°，∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，

∴∠PBC=∠BOC，

∴△PBC∽△BOC，

∴,即

∴OC=3，

∴在Rt△OCB中，OB=，

tan∠BOC=

∴∠COB=60°，

∴S△OPB =，S扇形BOD =，

∴S阴影=S△OPB-S扇形BOD=