Question

【题目】问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？

问题探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论．

探究一：

（1）用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n＝3时，m＝1

（2）用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形，所以，当n＝4时，m＝0

（3）用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形？若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当n＝5时，m＝1

（4）用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形？若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当n＝6时，m＝1

综上所述，可得表①

n	3	4	5	6
m	1	0	1	1

探究二：

（1）用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中）

（2）分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）

n	7	8	9	10
m

你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…

解决问题：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？

（设n分别等于4k﹣1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整数，把结果填在表 ③中）

n	4k﹣1	4k	4k+1	4k+2
m

问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（要求写出解答过程）其中面积最大的等腰三角形每个腰用了　 　根木棒．（只填结果）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；解决问题：见解析；问题应用：503个不同的等腰三角形，672

【解析】

探究二：

（1）周长为7，让腰长从1开始逐个验证即可；

（2）周长为8、9、10，方法同上；

解决问题：

问题的本质是，给定三角形的周长n，且n=2a+b，求满足要求的a的整数解的个数m．因此，根据三角形三边关系，我们将a的取值范围用n表示出来，从而就可以确定n在取任意值时，a的整数解个数m；

任意一个整数，均可以表示成4k-1，4k，4k+1，4k+2四种形式当中的一种，让n取这四种值，得出m的值填表；

问题应用：

根据上面探究得出的一般结论，只需看2016符号哪种情况即可．n=2016=504×4，m=504-1=503；

周长相同的情况下，等边三角形面积最大；

探究二：

（1）7＝1+1+5（舍去）；

7＝2+2+3（符合要求）；

7＝3+3+1（符合要求）；

（2）8＝1+1+6（舍去）；

8＝2+2+4（舍去）；

8＝3+3+2（符合要求）；

9＝1+1+7（舍去）；

9＝2+2+5（舍去）；

9＝3+3+3（符合要求）；

9＝4+4+1（符合要求）；

10＝1+1+8（舍去）；

10＝2+2+6（舍去）；

10＝3+3+4（符合要求）；

10＝4+4+2（符合要求）；

填表如下：

n	7	8	9	10
m	2	1	2	2

解决问题：

令n＝a+a+b＝2a+b，

则：b＝n﹣2a，

根据三角形三边关系定理可知：

2a＞b且b＞0，

∴，

解得：，

若n＝4k﹣1，则，a的整数解有k个；

若n＝4k，则k＜a＜2k，a的整数解有k﹣1个；

若n＝4k+1，则，a的整数解有k个；

若n＝4k+2，则，a的整数解有k个；

填表如下：

n	4k﹣1	4k	4k+1	4k+2
m	k	k﹣1	k	k

问题应用：

∵2016＝4×504，

∴k＝504，

则可以搭成k﹣1＝503个不同的等腰三角形；

当等腰三角形是等边三角形时，面积最大，

∴2016÷3＝672．