Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是的中点，延长AD至点E，使得AB＝BE．

（1）求证：△ACF∽△EBF；

（2）若BE＝10，tanE＝，求CF的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）

【解析】

（1）由圆周角定理及等腰三角形的性质可得出∠CAF=∠E，结合对顶角相等（∠AFC=∠EFB）可证出△ACF∽△EBF；

（2）由AB为直径可得出∠ACB=90°，利用相似三角形的性质可得出∠EBF=90°，由BE=10，tanE=结合相似三角形的性质可得出BF=，AC=3CF，在Rt△ABC中利用勾股定理可得出关于CF长度的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

（1）证明：∵点D是的中点，

∴∠CAD＝∠BAE．

∵AB＝BE，

∴∠BAE＝∠E，

∴∠CAF＝∠E．

又∵∠AFC＝∠EFB，

∴△ACF∽△EBF；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°．

∵△ACF∽△EBF，

∴∠EBF＝∠ACF＝90°．

∵BE＝10，tanE＝，

∴BF＝BEtanE＝．

∵∠CAF＝∠E，

∴AC＝3CF．

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝BE＝10，AC＝3CF，BC＝CF+，

∴AB2＝AC2+BC2，即102＝9CF2+（CF+）2，

解得：CF＝或CF＝﹣（舍去）．

∴CF的长为．