Question

在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，．现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图（1）是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图（2）是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．

（1）观察计算
在方案一中，        km（用含的式子表示）；
在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图（3）所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，        km（用含的式子表示）．
（2）探索归纳
①当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②请你参考方框中的方法指导，就（当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？

Answer 1

（1）；   （2）．
（2）①；；    
②．
当，即时，，．；
当，即时，，．；
当，即时，，．．
综上可知：当时，选方案二；当时，选方案一或方案二；当时，选方案一．

观察计算：（1）由题意可以得知管道长度为d₁=PB+BA（km），根据BP⊥l于点P得出PB=2，故可以得出d₁的值为a+2．
（2）由条件根据勾股定理可以求出KB的值，由轴对称可以求出A′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值就是管道长度．
探索归纳：（1）①把代入和就可以比较其大小；
②把代入和就可以比较其大小；
（2）分类进行讨论当，，时就可以分别求出a的范围，从而确定选择方案．