Question

【题目】已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，4），且经过点B（2，3），与x轴交于C、D两点．

（1）求直线OB的函数表达式和该抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作直线PF⊥x轴于点F，交直线OB于点E．若PE=3EF，求出P点的横坐标；

（3）如图2，点M是抛物上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，T是抛物线对称轴上一点，当MN最大且△MDT周长最小时，直接写出T的坐标．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣2x+5；(2) P点的横坐标为4﹣; (3) T的坐标为（1，3）．

【解析】

（1）由B点坐标利用待定系数法可求直线OB解析式，利用顶点式可求得抛物线解析式；

（2）设P（x，x2-2x+5），则可表示出E点坐标，由PE=3EF可得到方程解答即可；

（3）当M与B关于抛物线的对称轴对称时，MN最大，进而得出T的坐标．

（1）设直线OB解析式为y=kx，由题意可得3=2k，解得k=1.5，

∴直线OB解析式为y=1.5x，

∵抛物线顶点坐标为（1，4），

∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，

∵抛物线经过B（2，3），

∴3=a+4，解得a=1，

∴抛物线为y=x2﹣2x+5；

（2）设P（x，x2﹣2x+5），E点坐标为（x，1.5x），

∵PE=3EF，

∴x2﹣2x+5=4×1.5x，

解得：，（不合题意，舍去）

P点的横坐标为4﹣．

（3）当M与B关于抛物线的对称轴对称时，MN最大，此时B与N重合，

此时M的坐标为（0，3），

当MT垂直对称轴时，△MDT周长最小，

此时T的坐标为（1，3）．