Question

12．如图，已知双曲线y=$\frac{k}{x}（x＞0）$与经过点A（1，0），B（0，1）的直线交于P，Q两点，且P的横坐标与Q的纵坐标都是$\frac{1}{4}$，连接OP，OQ．
（1）则k=$\frac{3}{16}$；
（2）求△POQ的面积；
（3）若C是线段OA上不与O，A重合的任意一点，CA=a（0＜a＜1），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．
①当CE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，求a的值；
②线段OA上是否存在点C，使CE∥AB？若存在这样的点，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先用待定系数法求出直线AB的解析式，设P（$\frac{1}{4}$，c），Q（d，$\frac{1}{4}$）．利用双曲线与直线AB的交点坐标的求法得到点P、Q的坐标，易得k的值；
（2）根据勾股定理求出线段AB的长，过点O作OF⊥AB于点F，利用三角形的面积公式求出OF的长，进而可得出△OPQ的面积；
（3）①过点D作DM⊥x轴于点M，由于OA=1，CA=a，故OC=1-a，由CD⊥AB，∠OAB=45°可知△ADC是等腰直角三角形，故DM=CM=$\frac{1}{2}$CA=$\frac{a}{2}$，再根据DE⊥y轴可知四边形DEOM是矩形，故OE=DM=$\frac{a}{2}$，在Rt△OEC中利用勾股定理即可求出a的值；
②由①可知，OC=1-a，OE=$\frac{a}{2}$，由于OA=OB，所以若CE∥AB，则OC=OE，故可得出a的值．

解答 解：（1）设过A、B两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∵点A（1，0）、B（0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-x+1，
设P（$\frac{1}{4}$，c），Q（d，$\frac{1}{4}$）．
∵点P、Q都在直线AB上，
∴c=-$\frac{1}{4}$+1=$\frac{3}{4}$，d=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴P（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$），Q（$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$）；
又∵点P、Q都在双曲线y=$\frac{k}{x}（x＞0）$上，
∴k=xy=$\frac{1}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{16}$，
故该双曲线的解析式为：y=$\frac{3}{16x}$；

（2）过点O作OF⊥AB于点F，
∵点A（1，0）、B（0，1），
∴OA=OB=1，AB=$\sqrt{2}$，
∴AB•OF=OB•OA，$\sqrt{2}$OF=1，解得OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵P（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$） Q（$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$），
∴PQ=$\sqrt{（\frac{1}{4}-\frac{3}{4}）^{2}+（\frac{3}{4}-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$PQ•OF=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{4}$；
                                                                       
（3）①过点D作DM⊥x轴于点M，
∵OA=1，CA=a，
∴OC=1-a，
∵CD⊥AB，∠OAB=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴DM=CM=$\frac{1}{2}$CA=$\frac{a}{2}$，
∵DE⊥y轴，
∴四边形DEOM是矩形，
∴OE=DM=$\frac{a}{2}$，
在Rt△OEC中，
∵CE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，OC=1-a，OE=$\frac{a}{2}$，
∴CE²=OC²+OE²，即（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²=（1-a）²+（$\frac{a}{2}$）²，
解得a₁=$\frac{4+\sqrt{21}}{5}$，a₂=$\frac{4-\sqrt{21}}{5}$（不合题意舍去）；
②存在．理由如下：
由①可知，OC=1-a，OE=$\frac{a}{2}$，
∵OA=OB，CE∥AB，
∴OC=OE，即1-a=$\frac{a}{2}$，
解得a=$\frac{2}{3}$，
∴1-a=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴C（$\frac{1}{3}$，0）．

点评 本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识．利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．