Question

2．如图（1）已知△ABC，AB=AC，点E在AB上，作EF∥AB交AC于F．
（1）试给出BE与CF数量关系．
（2）将△AEF绕点A顺时针旋转如图（2），BE交CF于点O
①（1）中的结论还成立吗？请给出并证明你的结论．
②当∠ABC=60°时，∠BOC度数为60°；
当∠ABC=α时，∠BOC度数为α（0°＜α＜90°）
（3）在（2）的基础上，当∠BAC=90°，如图（3），（点B、A、F不在同一直线上），连接CE、BF，当点P为BF中点时，问$\frac{CE}{AP}$的值是否改变？若不变，证明求其值；若变，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，得到∠B=∠C，再根据EF∥AB，得到∠AEF=∠AFE，利用等角对等边得到AE=AF，所以AB-AE=AC-AF，即BE=CF．
（2）①由旋转的性质得出∠BAE=∠CAF，由SAS证明△BAE≌△CAF，得出对应边相等即可；
②当∠ABC=60°，由△BAE≌△CAF，得出对应角相等∠ABE=∠ACE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°，由三角形内角和即可求出结果；当∠ABC=α时，由前面的结果得出规律即可；
（3）延长AP至M，使PM=AP，连接MF，由SAS证明△BAP≌△FMP，得出AB=MF，∠ABP=∠PFM，得出平行线AB∥MF，由平行线的性质得出∠BAM=∠AMF，由SAS证明△CAE≌△MFA，得出对应边相等CE=AM，即可得出结果．

解答 解：（1）BE=CF；理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥AB，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，
∴BE=CF．
（2）①成立；理由如下：
∵△AEF是绕A点旋转而来，
∴∠CAB=∠EAF，
∴∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE
即：∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE=CF；
②当∠ABC=60°时，∠BOC=60°；理由如下：
∵△BAE≌△CAF，
∴∠ABE=∠ACE，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠OCB+∠OBC=∠ACF+∠ACB+∠OBC=∠ACB+∠ABC=120°，
∴∠BOC=180°-120°=60°；
当∠ABC=α时，由前面的结果得出规律：∠BOC=∠ABC=α；
故答案为：60°； α；
（3）$\frac{CE}{AP}$=2，不改变；理由如下：
延长AP至M，使PM=AP，连接MF，如图所示：
∵P是BF中点，
∴BP=PF，
在△BAP和△FMP中，$\left\{\begin{array}{l}{BP=FP}&{\;}\\{∠APB=∠MPF}&{\;}\\{AP=MP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△FMP（SAS），
∴AB=MF，∠ABP=∠PFM，
∴AB∥MF，
∴∠BAM=∠AMF，
∵AB=MF，AB=AC，
∴AC=MF，
∵∠BAM+∠CAE=90°=∠AMF+∠MFA，
∴∠CAE=∠MFA，
在△CAE和△MFA中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=MF}&{\;}\\{∠CAE=∠MFA}&{\;}\\{AE=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△MFA（SAS），
∴CE=AM，
∵AM=2AP，
∴CE=2AP，
∴$\frac{CE}{AP}$=2．

点评 本题是几何变换综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果．