Question

7．如图1，已知抛物线y=ax²+c过（0，$\frac{22}{3}$），且与直线y=2x交于点A（3，6）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．请直接写出：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

Answer 1

分析 （1）将已知点的坐标代入二次函数的解析式即可求得解析式；
（2）如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即$\frac{QM}{QN}$=tan∠AOM=2为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立；
（3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．设OE=a，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式=$\frac{1}{5}$a（3$\sqrt{5}$-a）=-$\frac{1}{5}$a²+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a（0＜a＜3$\sqrt{5}$），这是一个二次函数．借助此二次函数图象（如答图3），可见m在不同取值范围时，a的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个．这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题．
另外，在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度．如答图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+c过（0，$\frac{22}{3}$），且与直线y=2x交于点A（3，6）
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=\frac{22}{3}}\\{9a+c=6}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{27}}\\{c=\frac{22}{3}}\end{array}\right.$；
抛物线的解析式为：y=-$\frac{4}{27}{x}^{2}$+$\frac{22}{3}$．
（2）$\frac{QM}{QN}$是一个定值，理由如下：
如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．
①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，
此时$\frac{QM}{QN}$=tan∠AOM=2；
②当QH与QM不重合时，
∵QN⊥QM，QG⊥QH
不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，
∴∠MQH=∠GQN，
又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN，
∴$\frac{QM}{QN}$=tan∠AOM=2，
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得$\frac{QM}{QN}$=2．

（3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R
∵∠AOD=∠BAE，
∴AF=OF，
∴OC=AC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，
∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC，
∴$\frac{OF}{OC}$=$\frac{AO}{OR}$=$\frac{3\sqrt{5}}{3}$=$\sqrt{5}$，
∴OF=$\frac{3}{2}$，
∴点F（$\frac{15}{2}$，0），
设点B（x，$\frac{4}{27}{x}^{2}$+$\frac{22}{3}$），
过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，
∴$\frac{BK}{FR}$=$\frac{AK}{AR}$，
即$\frac{x-3}{7.5-3}$=-$\frac{6-（-\frac{4}{27}{x}^{2}+\frac{22}{3}）}{6}$，
解得x₁=6，x₂=3（舍去），
∴点B（6，2），
∴BK=6-3=3，AK=6-2=4，
∴AB=5；
在△ABE与△OED中
∵∠BAE=∠BED，
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，
∴∠ABE=∠DEO，
∵∠BAE=∠EOD，
∴△ABE∽△OED．
设OE=a，则AE=3$\sqrt{5}$-a（0＜a＜3），
由△ABE∽△OED得$\frac{AE}{AB}$=$\frac{OD}{OE}$，
∴$\frac{3\sqrt{5}-a}{5}$=$\frac{m}{a}$，
∴m=$\frac{1}{5}$a（3$\sqrt{5}$-a）=-$\frac{1}{5}$a²+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a（0＜a＜3$\sqrt{5}$），
∴顶点为（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）
如答图3，当m=$\frac{9}{4}$时，OE=a=$\frac{3}{2}$，此时E点有1个；
当0＜m＜$\frac{9}{4}$时，任取一个m的值都对应着两个a值，此时E点有2个．
∴当m=$\frac{9}{4}$时，E点只有1个
当0＜m＜$\frac{9}{4}$时，E点有2个．

点评 本题是中考压轴题，难度较大，解题核心是相似三角形与抛物线的相关知识，另外也考查了一次函数、勾股定理等重要知识点．解题的难点在于转化思想的运用，本题第（2），（3）问都涉及到了问题的转化，要求同学们能够将所求解的问题转化为常见的数学问题，利用自己所熟悉的数学知识去解决问题，否则解题时将不知道从何下手而导致失分．