Question

12．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，0），B点的坐标为（0，b），a，b满足|$\frac{1}{2}$a-4|+$\sqrt{{b}^{2}-36}$=0，C在x轴负半轴上，且OC=$\frac{1}{2}$OB．
（1）求直线BC的解析式；
（2）已知AB=10，求$\frac{∠ABO}{∠CBO．}$．

Answer 1

分析 （1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B的坐标，由OC=$\frac{1}{2}$OB可得出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）在线段OA上截取OC=OE，根据SAS定理可得出△OCB≌△OEB，故∠OBC=∠OBE，过点E作EF⊥AB于点F，根据三角形的面积公式求出EF的长，由角平分线的判定定理可知BE是∠ABO的平分线，由此可得出结论．

解答 解：（1）∵a，b满足|$\frac{1}{2}$a-4|+$\sqrt{{b}^{2}-36}$=0，
∴$\frac{1}{2}$a-4=0，b²-36=0，
解得a=8，b=6（舍去）或b=-6，
∴A（0，8），B（0，-6），
∴OA=8，OB=6．
∵OC=$\frac{1}{2}$OB，
∴B（-3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}-3k+b=0\\ b=-6\end{array}\right.$，
解得k=-2．
∴直线BC的解析式为y=-2x-6；

（2）如图，在线段OA上截取OC=OE=3，
在△OCB与△OEB中，
$\left\{\begin{array}{l}OC=OE\\∠BOC=∠BOE\\ OB=OB\end{array}\right.$，
∴△OCB≌△OEB（SAS），
∴∠OBC=∠OBE．
过点E作EF⊥AB于点F，
∵OA=8，OE=3，AB=10，
∴AE=5，
∴AE•OB=AB•EF，
∴EF$\frac{AE•OB}{AB}$=$\frac{5×6}{10}$=3，
∴EF=OE，
∴OE是∠ABO的平分线，
∴∠ABO=2∠OBE=2∠CBO，即$\frac{∠ABO}{∠CBO}$=2．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到待定系数法求一次函数的解析式、角平分线的判定与性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出角平分线是解答此题的关键．