Question

14．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），BE⊥x轴于点E，一次函数y=x+b经过点B，交y轴于点D．
（1）求证：△AOC≌△CEB；
（2）求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质，可得AC=BC，∠ACB=90°，根据余角的性质，可得∠OAC=∠BCE，根据AAS，可得答案；
（2）根据全等三角形的性质，可得B点坐标，根据待定系数法，可得b的值，根据三角形的面积公式，可得答案．

解答 （1）证明：∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°．
∵∠O=∠ACB=90°，
∴∠OAC+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCE=90°，
∴∠OAC=∠BCE．
在RtAOC和Rt△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠O=∠CEB}\\{∠OAC=∠CEB}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴RtAOC≌Rt△CEB   （AAS）；
（2）如图：作BF⊥y轴于F点．

∵RtAOC≌Rt△CEB，
∴CE=OA=2，BE=OC=1，
∴OE=CC+CE=1+2=3，
即B（3，1），BF=3．
将B点坐标代入y=x+b，得
3+b=1，
解得b=-2，
直线BD的解析式为y=x-2，
当x=0时，y=-2，即D（0，-2）．
S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD•BF=$\frac{1}{2}$×[2-（-2）]×3=6．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用余角的性质得出∠OAC=∠BCE是解题关键；（2）利用待定系数法求出b值，又利用了三角形的面积公式．