Question

15．根据下列条件，分别确定二次函数的解析式：
（1）抛物线y=ax²+bx+c过点（-3，2），（-1，-1），（1，3）；
（2）抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两交点的横坐标分别是-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，与y轴交点的纵坐标是-5．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线上三点坐标，代入一般式，列三元一次方程组，求a、b、c的值，确定抛物线解析式，再求抛物线与y轴交点的纵坐标．
（2）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+$\frac{1}{2}$）（x-$\frac{3}{2}$），然后把点（0，-5）代入求出a即可．

解答 解：（1）把（-3，2），（-1，-1），（1，3）代入抛物线解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=2}\\{a-b+c=-1}\\{a+b+c=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{7}{8}}\\{b=2}\\{c=\frac{1}{8}}\end{array}\right.$
∴该函数的解析式为：y=$\frac{7}{8}$x²+2x+$\frac{1}{8}$．
（2）设抛物线的解析式为y=a（x+$\frac{1}{2}$）（x-$\frac{3}{2}$），
把点（0，-5）代入得a×$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{2}$）=-5，
解得a=$\frac{20}{3}$，
则y=$\frac{20}{3}$（x+$\frac{1}{2}$）（x-$\frac{3}{2}$）=$\frac{20}{3}$x²-$\frac{20}{3}$x-5．
所以抛物线的解析式为y=$\frac{20}{3}$x²-$\frac{20}{3}$x-5．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．