Question

如图，点O是边长为a的正方形ABCD的对称中心，过点作OM⊥ON交正方形的边于M、N两点，求四边形OMCN的面积．

Answer 1

考点：旋转的性质,正方形的性质

专题：

分析：连接OC、OD，根据正方形的性质可得OC=OD，∠COD=90°，∠OCD=∠ODC=45°，根据同角的余角相等求出∠CON=∠DOM，然后利用“角边角”证明△CON和△DOM全等，根据全等三角形的面积相等可得S_△CON=S_△DOM，从而求出S_{四边形OMCN}=S_△COD，然后根据正方形的性质求解即可．

解答：解：如图，连接OC、OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，∠COD=90°，∠OCD=∠ODC=45°，
∴∠DOM+∠COM=90°，
∵OM⊥ON，
∴∠CON+∠COM=90°，
∴∠CON=∠DOM，
在△CON和△DOM中，

∠OCD=∠ODC=45° OC=OD ∠CON=∠DOM

，
∴△CON≌△DOM（ASA），
∴S_△CON=S_△DOM，
∴S_{四边形OMCN}=S_△COD，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴S_△COD=

1

4

a²，
∴四边形OMCN的面积为

1

4

a²．

点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并求出S_{四边形OMCN}=S_△COD是解题的关键．