Question

13．已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：CD=CE
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

分析 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图1，只需运用角平分线的性质就可解决问题；当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，如图2，图3，过点C作CG⊥OA于G，过点C作CH⊥OB于H，根据角平分线的性质可得CG=CH，易证∠GCH=90°=∠DCE，从而可得∠GCO=∠HCE，进而可得△DGC≌△EHC，即可得到CD=CE．

解答 解：当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图1，

∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD=CE．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，CD=CE仍然成立．
①如图2，过点C作CG⊥OA于G，过点C作CH⊥OB于H，

∵OC平分∠AOB，∴CG=CH．
∵∠CGO=∠CHO=∠GOH=90°，
∴∠GCH=90°，
∴∠GCH=∠DCE=90°，
∴∠GCO=∠HCE．
在△DGC和△EHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CGD=∠CHE=90°}\\{CG=CH}\\{∠GCD=∠HCE}\end{array}\right.$，
∴△DGC≌△EHC，
∴CD=CE．
②如图3，过点C作CG⊥OA于G，过点C作CH⊥OB于H，

∵OC平分∠AOB，∴CG=CH．
∵∠CGO=∠CHO=∠GOH=90°，
∴∠GCH=90°，
∴∠GCH=∠DCE=90°，
∴∠GCO=∠HCE．
在△DGC和△EHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CGD=∠CHE=90°}\\{CG=CH}\\{∠GCD=∠HCE}\end{array}\right.$，
∴△DGC≌△EHC，
∴CD=CE．

点评 本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、同角的余角相等等知识，将一般位置与特殊位置相结合是解决本题的关键．