Question

2．关于x的一元二次方程kx²-（2k-2）x+（k-2）=0（k≠0）．
（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）当k取何整数时方程有整数根．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△=（2k-2）²-4k×（k-2）＞0，然后根据非负数的性质即k的取值得到△＞0，则可根据判别式的意义得到结论，；
（2）利用公式法表示出方程的两个根，再进一步理由方程有整数根探讨得出k的数值即可．

解答 （1）证明：这∵a=k，b=-（2k-2），c=k-2，
∴△=b²-4ac=[-（2k-2）]²-4k×（k-2）=4k²-8k+4-4k²+8k=4＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：方程kx²-（2k-2）x+（k-2）=0（k≠0）的解为：$x=\frac{{-b±\sqrt{{b^2}-4ac}}}{2a}=\frac{{2k-2±\sqrt{4}}}{2k}$
整理，得${x_1}=1，{x_2}=\frac{k-2}{k}$
在方程的两个根中，x₁=1是整数，
∴${x_2}=\frac{k-2}{k}$为整数，${x_2}=\frac{k-2}{k}=1-\frac{2}{k}$，
∵k为整数，
∴当k为±1和±2时方程有整数根．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．