Question

8．如图，一个边长为a的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则AE：EC的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出圆的直径，继而得出OC的长度，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长，则可求得AE的长，可求得答案．

解答 解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为a，
∴△ABC的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
又∵∠ACB=60°，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=$\frac{3}{8}$a，
即CE=2FC=$\frac{3}{4}$a，
∴AE=AC-CE=a-$\frac{3}{4}$a=$\frac{1}{4}$a，
AE：CE=$\frac{1}{4}$a：$\frac{3}{4}$a=1：3．
故选C．

点评 本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识，题目不是太难，属于基础性题目．