Question

13．已知双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）与矩形ABCD，A（2，1）C（6，4）设双曲线与折线A-D-C交于E，与折线A-B-C交于F．
（1）写出B，D两点的坐标；
（2）k为何值时，双曲线与矩形有公共点；
（3）设△AEF的面积为y，当E，F分别在DC和BC上时，确定y与k之间的函数关系式，并确定k取值范围；
（4）当E，F分别在DC和BC上，且△AEF为直角三角形，求k的值；
（5）直接写出EF的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形性质，点与坐标的关系，由A、C坐标得B、D坐标；
（2）利用数形结合，根据反比例函数解析式，过点A，C时求出k的值，从而确定k的取值范围；
（3）根据反比例函数图象的性质，表示出E、F的坐标，用矩形ABCD的面积减去△CEF，△ADE，△ABF的面积，即可表示出△AEF的面积，根据点D、C的坐标即可得到k的取值范围；
（4）利用勾股定理，即可得到k的值；
（5）根据k的取值范围，得EF的最大值．

解答 解：（1）由点与坐标的关系可得：
B（6，1），D（2，4）；

（2）当双曲线y=$\frac{k}{x}$过A（2，1）时，k=2，
当双曲线y=$\frac{k}{x}$过C（6，4）时，k=24，
∴2≤k≤24；

（3）当E，F分别在DC和BC上时，曲线y=$\frac{k}{x}$与CD，BC相交，
当y=4时，x=$\frac{k}{4}$，∴E（$\frac{k}{4}$，4），CE=6-$\frac{k}{4}$
当x=6时，y=$\frac{k}{6}$，∴F（6，$\frac{k}{6}$），CF=4-$\frac{k}{6}$，
DE=$\frac{k}{4}$-2，AD=4-1=3，BF=$\frac{k}{6}$-1，AB=6-2=4，
y=（4-1）（6-2）-$\frac{1}{2}$（$\frac{k}{4}$-2）×（4-1）-$\frac{1}{2}×$（6-2）×（$\frac{k}{6}$-1）-$\frac{1}{2}$（6-$\frac{k}{4}$）（4-$\frac{k}{6}$）=-$\frac{1}{48}$k²⁺$\frac{7}{24}$k+5，
∴y与k之间的函数关系式为：y=-$\frac{1}{48}$k²+$\frac{7}{24}$k+5；
∴8≤k＜24；

（4）当8≤k＜24时，
曲线y=$\frac{k}{x}$与CD，BC相交，
${AF}^{2}{=AB}^{2}{+BF}^{2}=16{+（\frac{k}{6}-1）}^{2}$=$\frac{{k}^{2}}{36}-\frac{k}{3}+17$，
AE²=AD²+DE²=$\frac{{k}^{2}}{16}-k+13$，
EF²=CE²+CF²=${\frac{13}{144}k}^{2}-\frac{13}{3}k+52$
当AF²=AE²+EF²时，
解得：k=16或k=24（舍去），
当AE²=AF²+EF²时，
无解，
∴当k=16时，△AEF是直角三角形；

（5）由（4）知${EF}^{2}=\frac{13}{144}$k²$-\frac{13}{3}k$+52，
当EF²最大时，EF最大，
∵8≤k＜24，由二次函数的性质可得：
当k=8时，EF²最大为：$\frac{13}{144}$×8²-$\frac{13}{3}×8$+52=$\frac{208}{9}$
∴EF的最大值为$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题主要考查了反比例函数的图象性质，勾股定理，矩形性质，利用数形结合思想是解决本题的关键．