Question

【题目】已知是等边三角形.

（1）将绕点逆时针旋转角（）；得到，和所在直线相交于点.

①如图，当时，与是否全等？ （填“是”或“否”）， 度；

②当旋转到如图所在位置时，求的度数；

（2）如图，在和上分别截取点和，使，，连接，将绕点逆时针旋转角（），得到，和所在直线相交于点，请利用图探索的度数，直接写出结果，不必说明理由.

Answer 1

【答案】（1）①是， 120；②120°；（2）当时，；当时，.

【解析】

（1）①根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD与△ACE全等；根据三角形的内角和等于180°求出∠ABD与∠AEC的度数，再根据旋转角为20°求出∠BAE的度数，然后利用四边形的内角和公式求解即可；

②先利用“边角边”证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠AEC，再利用四边形ABOE的内角和等于360°推出∠BOE+∠DAE=180°，再根据等边三角形的每一个角都是60°得到∠DAE=60°，从而得解；

（2）先求出B′C′∥BC，证明△AB′C′是等边三角形，再根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的度数，然后分0°＜θ≤30°与30°＜θ＜180°两种情况求解．

（1）①∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，△ABC是等边三角形，

∴AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE=20°，

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

∵θ=20°，

∴∠ABD=∠AEC=（180°-20°）=80°，

又∵∠BAE=θ+∠BAC=20°+60°=80°，

∴在四边形ABOE中，∠BOE=360°-80°-80°-80°=120°；

②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，

∴AB=AD=AC=AE，

∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，

∴∠BAD=∠CAE=θ，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠ADB=∠AEC，

∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°，

∴∠AEC+∠ABD+∠BAD=180°，

∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°，

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，

∴∠DAE+∠BOE=180°，

又∵∠DAE=60°，

∴∠BOE=120°；

（2）如图，∵AB=AB′，AC=AC′，

∴，

∴B′C′∥BC，

∵△ABC是等边三角形，

∴△AB′C′是等边三角形，

根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），

=180°-（∠OBC+∠ACB+∠ACE），

=180°-（∠OBC+∠ACB+∠ABD），

=180°-（∠ACB+∠ABC），

=180°-（60°+60°），

=60°，

当时，∠BOE=∠BOC=60°，

当30°＜θ＜180°时，∠BOE=180°-∠BOC=180°-60°=120°．