Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，延长PE交AC于G，PE＝PF

（1）求证：直线PG为⊙O的切线；

（2）求证：GA＝GE；

（3）判断OG与BE的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）OG∥BE，理由详见解析．

【解析】

（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠PEF＝∠PFE，∠OED＝∠ODE，证明∠OEP＝90°，根据切线的判定定理证明结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠OEB＝∠OBE，根据对顶角相等得到∠AEG＝∠BEP，得到∠AEG＝∠A，根据等腰三角形的判定定理证明；

（3）根据切线长定理得到∠OGC＝∠OGE，根据三角形的外角性质得到∠OGE＝∠AEG，根据平行线的判定定理证明即可．

（1）证明：连接OE，

∵PE＝PF，

∴∠PEF＝∠PFE，

∵OD＝OE，

∴∠OED＝∠ODE，

∵∠DOF＝90°，

∴∠ODE+∠OFD＝90°，

∵∠OFD＝∠PFE，

∴∠OED+∠PEF＝90°，即∠OEP＝90°，

∴直线PG为⊙O的切线；

（2）证明：∵OB＝OE，

∴∠OEB＝∠OBE，

∵∠OEB+∠BEP＝90°，

∴∠OBE+∠BEP＝90°，

∵∠AEG＝∠BEP，

∴∠OBE+∠AEG＝90°，

∵∠C＝90°，

∴∠OBE+∠A＝90°，

∵∠AEG＝∠A，

∴GA＝GE；

（3）解：OG∥BE，

理由如下：∵GC、GE是⊙O的切线，

∴∠OGC＝∠OGE，

∵∠OGC+∠OGE＝∠AEG+∠A，∠AEG＝∠A，

∴∠OGE＝∠AEG，

∴OG∥BE．