【题目】如图,已知抛物线经过点
,
,
,点
为
中点,连接
、
,并延长
交
于点
.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若抛物线与抛物线
关于
轴对称,在抛物线
位于第二象限的部分上取一点
,过点
作
轴,垂足为点
,是否存在这样的点
,使得
与
相似?若存在,请求出点
坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
,
【解析】
(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,将A(1,0),B(2,0),C(0,2)代入抛物线的解析式即可解答;
(2)求出抛物线w2的解析式y=x2x+2,可知点D坐标,证明△AOC∽△DOB,可证出BD⊥AC,则,设F(m,0),
,m<0,若△QFO与△CDE相似,可分两种情况考虑,①是△QFO∽△DEC时,②是△QFO∽△CED时,列出相似比即可求出m的值.
解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,将A(1,0),B(2,0),C(0,2)代入抛物线的解析式得:,
解得:a=1,b=1,c=2,
∴抛物线w1的表达式为y=x2+x+2;
(2)∵抛物线w1与抛物线w2关于y轴对称,
∴抛物线w2的解析式y=x2x+2,
∵点D为OC中点,C(0,2),
∴D(0,1),
∵A(1,0),B(2,0),
∴,
∵∠AOC=∠BOD=90°,
∴△AOC∽△DOB,
∴∠ACO=∠DBO,
∴BD⊥AC,
∴,
设F(m,0),,m<0,若△QFO与△CDE相似,可分两种情况考虑:
①△QFO∽△DEC时,
∴,
解得:(舍去)
∴,
②△QFO∽△CED时,
,
∴,
解得:(舍去)
∴F(-1,0);
综上所述: ,
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【题目】如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为6,绕底面一棱长进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图2是此时的示意图,则图2中水面高度为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处,点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,有下列结论:①∠EBG=45°;②S△ABG=S△FGH;③△DEF∽△ABG;④AG+DF=FG.其中正确的是_____.(把所有正确结论的序号都选上)
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【题目】现有A,B两种商品,已知买一件A商品比买一件B商品少30元,用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同.
(1)A,B两种商品每件各是多少元?
(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过380元,且不低于300元,那么一共有几种购买方案?
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【题目】在学校组织的数学竞赛中,八(1)班比赛成绩分为、
、
、
四个等级,其中相应等级的得分依次记为100分,90分,80分,70分,学校将八(1)班成绩现整理并绘制成如下的统计图.请你根据以上提供的信息解答下列问题:
(1)请补全条形统计图
(2)八年级一班竞赛成绩众数是________,中位数落在________类.
(3)若该校有1500名学生,请估计该校本次竞赛成绩为类的学生人数.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC边的中点, F是CD边上的一点, 且DF=1.若M、N分别是线段AD、AE上的动点,则MN+MF的最小值为________.
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【题目】问题提出(1)如图①,在△ABC中,BC=6,D为BC上一点,AD=4,则△ABC面积的最大值是 .
问题探究(2)如图②,已知矩形ABCD的周长为12,求矩形ABCD面积的最大值.
问题解决(3)如图③,△ABC是葛叔叔家的菜地示意图,其中AB=30米,BC=40米,AC=50米,现在他想利用周边地的情况,把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地,用来建鱼塘.已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD,且满足∠ADC=60°.你认为葛叔叔的想法能否实现?若能,求出这个四边形鱼塘周长的最大值;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,∠ACB=90°,AC=BC,CD平分∠ACB,点D,E关于CB对称,连接EB并延长,与AD的延长线交于点F,连接DE,CE.对于以下结论:
①DE垂直平分CB;②AD=BE;③∠F不一定是直角;④EF2+DF2=2CD2.
其中正确的是( )
A.①④B.②③C.①③D.②④
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