【题目】如图,是半径为的上的定点,动点从出发,以的速度沿圆周逆时针运动,当点回到地立即停止运动.
(1)如果,求点运动的时间;
(2)如果点是延长线上的一点,,那么当点运动的时间为时,判断直线与的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)或(2)直线与相切,理由见解析
【解析】
(1)当∠POA=90°时,点P运动的路程为⊙O周长的或,所以分两种情况进行分析;
(2)直线BP与⊙O的位置关系是相切,根据已知可证得OP⊥BP,即直线BP与⊙O相切.
解:(1)当∠POA=90°时,根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的或,设点P运动的时间为ts;
当点P运动的路程为⊙O周长的时,2πt=2π12,
解得t=3;
当点P运动的路程为⊙O周长的时,2πt=2π12,
解得t=9;
∴当∠POA=90°时,点P运动的时间为3s或9s.
(2)如图,当点P运动的时间为2s时,直线BP与⊙O相切
理由如下:
当点P运动的时间为2s时,点P运动的路程为4πcm,
连接OP,PA;
∵半径AO=12cm,
∴⊙O的周长为24πcm,
∴的长为⊙O周长的,
∴∠POA=60°;
∵OP=OA,
∴△OAP是等边三角形,
∴OP=OA=AP,∠OAP=60°;
∵AB=OA,
∴AP=AB,
∵∠OAP=∠APB+∠B,
∴∠APB=∠B=30°,
∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°,
∴OP⊥BP,
∴直线BP与⊙O相切.
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【题目】北京时间2020年5月12日9时16分,我国自主研制的快舟一号甲运载火箭在酒泉卫星发射中心发射成功.此次发射的“行云二号”01星命名为“行云·武汉号”,并通过在火箭箭体上涂刷“英雄武汉伟大中国”和“致敬医护工作者群像”的方式,致敬武汉、武汉人民和广大医护工作者.如图,火箭从地面L处发射,当火箭达到A点时,从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km,仰角为42.4°;1秒后火箭到达B点,此时测得仰角为45.5°求这枚火箭从A到B的平均速度是多少(结果精确到0.01)?(参考数据:sin42.4°≈0.67,cos42.4°≈0.74,tan42.4°≈0.905,sin45.5°≈0.71,cos45.5°≈0.70,tan45.5°≈1.02)
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)若⊙O的半径为3cm,∠C=30°,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图, 抛物线与轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n)与轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包 含端点),则下列结论:①;②;③对于任意实数m,总成立;④关于的方程有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
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【题目】某校为了做好“营造清洁生活环境”活动的宣传,对本校学生进行了有关知识的测试,测试后随机抽取了部分学生的测试成绩,按“优秀、良好、及格、不及格”四个等级进行统计分析,并将分析结果绘制成如下两幅不完整的统计图:
(1)求抽取的学生总人数;
(2)抽取的学生中,等级为“优秀”的人数为 人;扇形统计图中等级为“不合格”部分的圆心角的度数为 °;
(3)补全条形统计图;
(4)若该校有学生3500人,请根据以上统计结果估计成绩等级为“优秀”和“良好”的学生共有多少人.
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【题目】(1)证明推断:如图①,在△ABC中,D,E分别是边BC,AB的中点,AD,CE相交于点G,求证:.
(2)类比探究:如图②,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE、BD交于点F,若AB=6,求OF的长;
(3)拓展运用:若正方形ABCD变为□ABCD,如图③,连结DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为,求□ABCD的面积.
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【题目】某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本,已知:两种笔记本的进价之和为10元,甲种笔记本每本获利2元,乙种笔记本每本获利1元,小玲同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了47元.
(1)甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元?
(2)该文具店购入这两种笔记本共60本,花费不超过296元,则购买甲种笔记本多少本时文具店获利最大?
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