Question

20．如图，已知CD是圆中的弦，B为圆上一点，且$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$．
（1）请你在图中利用三角板画出过点B的圆的切线BE，并说明你画图的正确性（不写画法，但保留画图痕迹）；
（2）点A是圆上异于B、C和D的任意一点，连接AB、AC、AD，直接写出∠BAC和∠BAD的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1，用三角板画BH⊥CD于H，再过B点画BE⊥BH，由于$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，根据垂径定理的推理得CH=DH，则BH垂直平分CD，所以BH过圆的圆心，则根据切线的判定定理可得BE为圆的切线；
（2）分类讨论：当点A在$\widehat{CD}$上，如图2，根据圆周角定理易得∠BAC=∠BAD；当点A在$\widehat{BC}$上，如图3，连结BD，先利用圆周角定理得到∠BAD=∠BDC，根据圆内接四边形的性质得∠BAC+∠BDC=180°，则∠BAC+∠BAD=180°，当点A在$\widehat{BD}$上，同理可得∠BAC+∠BAD=180°，所以∠BAC与∠BAD相等或互补．

解答 解：（1）如图1，用三角板画BH⊥CD于H，再过B点画BE⊥BH，则BE为所求；理由为：
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
而BH⊥CD，
∴CH=DH，
即BH垂直平分CD，
∴BH过圆的圆心，
∵BE⊥BH，
∴BE为圆的切线；
（2）当点A在$\widehat{CD}$上，如图2，∵$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BAC=∠BAD；
当点A在$\widehat{BC}$上，如图3，连结BD，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BAD=∠BDC，
∵∠BAC+∠BDC=180°
∴∠BAC+∠BAD=180°；
当点A在$\widehat{BD}$上，同理可得∠BAC+∠BAD=180°，
综上所述，∠BAC和∠BAD的数量关系为相等或互补．

点评 本题考查了作图：复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理、圆周角定理和切线的性质．