Question

如图，抛物线y=-

1

3

x2+bx+c经过点A（6，0）、B（0，-4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线对称轴与x轴交于点C，连接BC，点P在抛物线对称轴上，使△PBC为等腰三角形，请写出符合条件的所有点P坐标．（直接写出答案）

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,待定系数法求二次函数解析式,等腰三角形的判定

专题：

分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，通过待定系数法来求b、c的值；
（1）需要分类讨论：BC=BP、BC=CP、BP=CP这三种情况下的点P的坐标．

解答：（1）∵抛物线经过点B（0，-4）
∴c=-4．
又抛物线y=-

1

3

x2+bx+c经过点A（6，0），
∴0=-

1

3

×62+6b-4
∴b=

8

3

∴该抛物线的解析式为：y=-

1

3

x2+

8

3

x-4；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=-

1

3

x2+

8

3

x-4．则对称轴为x=4，C（4，0）．
∵B（0，-4），
∴BC=4

2

．
①当BC=CP时，CP=±4

2

，则P₁（4，4

2

），P₂（4，-4

2

）；
②当BP=CP时，点P是线段BC的中垂线与直线x=4的交点，此时P₃（4，-4）；
③当BC=BP时，CP₄=2CP₃=8，此时P₄（4，-8）；
综上所述，符合题意的点P的坐标分别是：P₁（4，4

2

），P₂（4，-4

2

），P₃（4，-4），P₄（4，-8）．

点评：本题考查抛物线与x轴的交点，等腰等腰三角形的性质．题目中没有指出等腰三角形的底边，所以解题时要分类讨论，以防漏解．