Question

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且BF=

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（AD+BC）
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）联结AF，若AG平分∠FAD，求证：四边形AEFG是矩形．

Answer 1

考点：矩形的判定,平行四边形的判定,梯形

专题：

分析：（1）如图，连接EG．利用梯形中位线定理证得四边形EGFB是平行四边形；然后根据已知条件推知四边形AEFG的对边EA=GF且EA∥GF，易证四边形AEFG是平行四边形；
（2）连接AF，根据已知条件推知?AEFG中的AO=GO；然后证得?AEFG的对角线AF=AG即可．

解答： （1）证明：如图，连接EG．
∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E、G分别是AB、CD的中点，
∴EG=

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（AD+BC），EG∥AD∥BC．
∵BF=

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（AD+BC），
BF=EG．
∴四边形EGFB是平行四边形．
∴EB=FG且EB∥FG．
∵E是AB的中点，
∴AE=DBE．
∴EA=GF且EA∥GF．
∴四边形AEFG是平行四边形．

（2）证明：连接AF，将EGAFG的交点记为点O．
∵AG平分∠FAD，
∴∠DAG=∠GAF．
∵EG∥AD，
∴∠DAG=∠AGE，
∴∠FAG=∠AGE．
∴AO=GO．
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴GO=

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EG，AO=

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AF．
∴AF=EG，
∴平行四边形AEFG是矩形．

点评：本题考查了矩形的判定，正方形的判定与性质以及梯形的中位线定理．注意，在推知四边形AEFG是矩形时，必须先说明四边形AEFG是平行四边形．