Question

已知：如图，矩形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，AE是∠BAF的角平分线．
（1）若AB=3，BC=4，求AE的长；
（2）求证：AF=AB+FC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）根据勾股定理即可求得AE的长．
（2）作EG⊥AF于G，根据交平分线的性质求得EB=EG，然后根据HL证得RT△ABE≌RT△AGE和RT△EFC≌RT△EFG得出AB=AG，FG=FC，从而证得结论．

解答：解：（1）∵点E是BC的中点，AB=3，BC=4，
∴BE=EC=2，
∴AE=

AB2+BE2

=

32+22

=

13

．
（2）作EG⊥AF于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EB⊥AB，
∵AE是∠BAF的角平分线．
∴EB=EG，
在RT△ABE和RT△AGE中，

EB=EG AE=AE

，
∴RT△ABE≌RT△AGE（HL），
∴AB=AG，
∵BE=CE，EB=EG，
∴EG=EC，
在RT△EFC和RT△EFG中，

EG=EC EF=EF

，
∴RT△EFC≌RT△EFG（HL），
∴FG=FC，
∴AG+GF=AB+FC，
即AF=AB+FC．

点评：本题考查了矩形的性质，角平分线的性质及其判定，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．