Question

【题目】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．

（1）当t＝　 　 s时，四边形EBFB'为正方形；

（2）若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；

（3）是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2.5．（2）或．（3）不存在，理由见解析

【解析】

（1）由题意得由BE=BF即可．

（2）分△EBF∽△FCG和△EBF∽△GCF讨论即可．

（3）用反证法证明，假设存在实数t，使得点B'与点O重合，求出此时AE和BF的值，与已知的速度得到的比值比较得出错误的结论．

试题

解：（1）∵AB＝10，BC＝12，∴．

由BE=BF得．

（2）由题意得AE=t，BF=3t，CG=1.5t．

∵AB＝10，BC＝12，∴．

∵点F在BC上运动，∴，即．

①当△EBF∽△FCG时，，∴，解得．

②当△EBF∽△GCF时，，∴，化简，得．

解得（不合题意，舍去）．

∵，∴或符合题意．

∴若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，则或．

（3）不存在，理由如下：

如图，连接BD．

∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴点O为BD的中点．

假设存在实数t，使得点B'与点O重合，此时，EF是OB的垂直平分线，垂足为点H．

∵易知，,．

∴△EHB∽△BHF∽△BCD，

∴．∴ ．

∵点F的运动速度是点E的运动速度的3倍，但，

∴不存在实数t，使得点B'与点O重合．