Question

10．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．若AB=8，AD=6$\sqrt{3}$，AF=4$\sqrt{3}$，则AE的长为6．

Answer 1

分析 四边形ABCD为平行四边形，得到AD∥BC，∠B=∠ADC；而AE⊥BC，求得∠DAE=90°，根据已知条件得到∠DAF=∠EDC；推出△ADF∽△DEC，由相似三角形的性质得到$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AF}{CD}$而AB=8，AD=6$\sqrt{3}$，AF=4$\sqrt{3}$，求得DE=12，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠ADC；∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠DAE=90°，
∵∠AFE=∠B，
∴∠AFE=∠ADC，即∠ADF+∠DAF=∠ADF+∠EDC，
∴∠DAF=∠EDC；
∴△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AF}{CD}$而AB=8，AD=6$\sqrt{3}$，AF=4$\sqrt{3}$，
∴DE=12，
∴AE=$\sqrt{D{E}^{2}-A{D}^{2}}$=6，
故答案为：6．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．