Question

2．如图，已知菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°．E是BC边上一动点，F是CD边上一动点，且BE=CF，连接AE、AF．
（1）∠EAF的度数是60°；
（2）求证：AE=AF；
（3）延长AF交BC的延长线于点G，连接EF，设BE=x，EF²=y，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接AC，根据菱形的性质得到AB=BC=6，推出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°，得到∠ACF=60°，推出△ABE≌△ACF，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）证得△ABE≌△ACF，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）由（2）得AE=AF，△ABE≌△ACF，由全等三角形的性质得到∠CAF=∠BAE，推出△AEF是等边三角形，得到∠AFE=60°，通过△ECF∽△EFG，得到$\frac{EF}{EG}=\frac{EC}{EF}$，求得EF²=EC•EG，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{CF}{AB}=\frac{CG}{BG}$，得到CG=$\frac{6x}{6-x}$，根据EF²=EC•EG，代入数据即可得到结论．

解答 （1）解：如图1，连接AC，在菱形ABCD中，
∵AB=BC=6，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ACF=60°，
在△ABE与△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠ACF=60°}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠CAF=∠BAE，
∵∠BAE+∠CAE=60°，
∴∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠EAF=60°，
故答案为：60°；

（2）证明：由（1）证得△ABE≌△ACF，
∴AE=AF；

（3）解：
由（2）得AE=AF，△ABE≌△ACF，
∴∠CAF=∠BAE，
∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE=60°，
∴∠EFG=180-∠AFE=120°，
∵∠BCD=120°=∠EFG，∠CEF=∠FEG，
∴△ECF∽△EFG，
∴$\frac{EF}{EG}=\frac{EC}{EF}$，∴EF²=EC•EG，
∵AB∥CD，∴$\frac{CF}{AB}=\frac{CG}{BG}$，
∴$\frac{x}{6}=\frac{CG}{CG+6}$，
∴CG=$\frac{6x}{6-x}$，
∴EG=CE+CG=6-x+$\frac{6x}{6-x}$，
∵EF²=EC•EG，
∴y=（6-x）（6-x+$\frac{6x}{6-x}$）=x²-6x+36．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．