Question

7．在平面直角坐标系xOy中，等腰三角形ABC的三个顶点A（0，1），点B在x轴的正半轴上，∠ABO=30°，点C在y轴上．
（1）直接写出点C的坐标：（0，-1）或（0，3）；
（2）点P关于直线AB的对称点P′在x轴上，AP=1，在图中标出点P的位置并说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出点C坐标，三角形ABC为等腰三角形分三种情况，结合两点间的距离公式分情况讨论即可得出结论；
（2）由对称的特性结合到点的距离为固定值得图象为圆，可得出点P的位置．

解答 解：（1）根据题意完善图形，如图1所示．

∵∠ABO=30°，点A（0，1），
∴OA=1，tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AB=$\frac{OA}{sin∠ABO}$=2，
∴点B的坐标为（$\sqrt{3}$，0）．
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为（0，m）．
∵三角形ABC为等腰三角形，
∴分三种情况考虑：
①当AC=AB时，由两点间的距离公式可知：
$\sqrt{{0}^{2}+（m-1）^{2}}$=2，解得：m=-1，或m=3，
即点C的坐标为（0，-1）或（0，3）；
②当AC=BC时，由两点间的距离公式可知：
$\sqrt{{0}^{2}+（m-1）^{2}}$=$\sqrt{（0-\sqrt{3}）^{2}+（m-0）^{2}}$，解得：m=-1，
即点C的坐标为（0，-1）；
③当AB=BC时，由两点间的距离公式可知：
2=$\sqrt{（0-\sqrt{3}）^{2}+（m-0）^{2}}$，解得m=-1或m=1（舍去），
即点C的坐标为（0，-1）．
综上得：点C的坐标为：（0，-1）或（0，3）．
故答案为：（0，-1）或（0，3）．
（2）第一步：以A点为圆心，1为半径作圆，⊙A与x轴切与原点O，
第二步：过点O作OP⊥AB交⊙A于点P，P点即为所求（图形如图2）．

∵点P与点P′关于直线AB对称，且AP=1，
∴AP′=AP=1．
故用上面的画法寻找点P．

点评 本题考查了两点间的距离公式、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）按照等腰三角形的性质结合两点间的距离公式得出关于m的一元二次方程；（2）明白对称的性质以及到点的距离为定值的图象为圆．本题属于中档题，难度不大，（1）问题不大；（2）中巧用先寻找点P的对称的P′，再由对称去寻找点P．