Question

18．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AD=6，CE=2$\sqrt{2}$，点F在边CD上，连接DE，连接BG并延长交CD于点M，交DE于点H，则HM的长为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 连接DG、EG，交DC于点N，根据正方形的性质求出∠BCG=∠ECD，再根据SAS证出△BCG≌△DCE，得出∠CBG=∠CDE，根据CD=6，DN=4，求出tan∠CDE=$\frac{HM}{DN}$=$\frac{EN}{DN}$=$\frac{1}{2}$，设HM=x，则DN=2x，根据勾股定理得出x²+（2x）²=DM²，根据tan∠CBG=$\frac{1}{2}$，求出DM=3，再代入x²+（2x）²=DM²，求出x的值即可．

解答 解：连接DG、EG，交DC于点N，
∵四边形ABCD、EFGC是正方形，
∴CB=CD，CG=CE，EG⊥FC，
∠ECD=45°，∠BCD=90°，
∴∠BCG=45°，
∴∠BCG=∠ECD，
∵CE=2$\sqrt{2}$，
∴NE=NC=2，
在△BCG和DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CE=CG}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
∵∠DMH=∠CMB，
∴∠DHM=∠MCB=90°，
∵CD=6，
∴DN=4，
∴tan∠CDE=$\frac{HM}{DN}$=$\frac{EN}{DN}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
设HM=x，则DN=2x，
∵HM²+DH²=DM²，
∴x²+（2x）²=DM²，
∴tan∠CBG=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CM}{CB}$=$\frac{CM}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴CM=3，
∴DM=3，
∴x²+（2x）²=3²，
∴x₁=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，x₂=-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$（舍去），
∴HM=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．