Question

6．已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以点D为圆心，CD为半径作半圆，分别与边AC、BC相交于点E和点F．如果AB=AC=5，cosB=$\frac{4}{5}$，AE=1．求：
（1）线段CD的长度；
（2）点A和点F之间的距离．

Answer 1

分析 （1）连接EF，利用圆周角定理得出∠FEC=90°，再利用等腰三角形的性质，结合锐角三角函数得出答案；
（2）利用锐角三角函数得出NC的长，再利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）连接EF，
∵由题意可得FC是⊙D的直径，
∴∠FEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AB=AC=5，cosB=$\frac{4}{5}$，AE=1，
∴EC=4，cosB=cos∠ACB=$\frac{4}{5}$=$\frac{EC}{FC}$=$\frac{4}{FC}$，
解得：FC=5，
则DC=2.5；

（2）连接AF，过点A作AN⊥BC于点N，
∵AB=5，cosB=$\frac{4}{5}$，
∴BN=4，
∴AN=3，
∵cosC=cosB=$\frac{4}{5}$，
∴NC=4，
∴FN=1，
∴AF=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理和锐角三角函数等知识，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．