Question

6．如图，正方形ABCD的边长为1，P为BC上任意一点（含B、C两点），分别过点B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为E、F、G，以下判断：
①△ADG≌△BAE；
②BE=AE-PE；
③BE+CF+DG的最小值是$\sqrt{2}$；
④BE+CF+DG的最大值是2．
其中正确的是①③④．（把所有正确的结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 ①利用AAS可证得此结论成立；②令P、C点重合，发现②结论不成立；③④设PB=a，结合三角形面积公式，三角形全等，勾股定理以及相似三角形的性质，用a把BE+CF+DG表示出来，再利用二次函数在a的取值范围内的单调性即可得出结论．

解答 解：①∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠BAE=90°，
∴∠ADG=∠BAE．
在△ADG和△BAE中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠ADG=∠BAE}\\{∠AGD=∠BEA=90°}\\{AD=BA=1}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△BAE（AAS）．
故①成立．
②当P在C点时，如图1所示．

此时，AE=PE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
显然BE=AE-PE不成立．
故②不成立．
③④放到图2中研究，图2如下．

设PB=a（0≤a≤1），则PC=1-a．
由勾股定理可得AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{1+{a}^{2}}$，
△ABP的面积=$\frac{1}{2}$AP•BE=$\frac{1}{2}$AB•PB，
∴BE=$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$．
∵△ADG≌△BAE（①已证），
∴DG=AE．
由勾股定理可得：AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$，
∴DG=$\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$．
∵∠CPF=∠BPE，∠CFP=∠BEP=90°，
∴△△CFP∽△BEP，
∴$\frac{CF}{BE}$=$\frac{CP}{BP}$，CF=$\frac{CP}{BP}$•BE=$\frac{1-a}{a}$•$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{1-a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$．
BE+CF+DG=$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$+$\frac{1-a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$．
∵1+a²在0≤a≤1内单调递增，且最小值为1，最大值为2，
∴BE+CF+DG最小值为$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；最大值为$\frac{2}{1}$=2．
故③④成立．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理以及三角形的面积公式，解题的关键是用a把BE+CF+DG表示出来．本题属于中档题型，难度不大，①②及其容易判定，失分点在于③④的判定，如果像本题一样是填空或者选择，可以考虑特殊点，即P与B或C重合来断定，若为大题，则需设出PB=a，结合三角形面积公式，全等三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的性质等众多知识，用a表示出来BE+CF+DG，再用二次函数求最值问题解决问题，结合本题，可以形成一种观念，若为填空、选择直接去找特殊点，这样可以节省很多验证时间．