Question

11．如图所示，在函数y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$（x＞0）的图象上，△P₁OA，△P₂A₁A₂，△P₂A₂A₃，…，△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，且直角边OA₁，A₁A₂，…，A_n-1A_n都在x轴上，则A_n的坐标为P_n[1+$\frac{3}{4}$+$\frac{9}{16}$+…（$\frac{3}{4}$）^n-1，（$\frac{3}{4}$）^n-1]．

Answer 1

分析 依次设△P₁OA，△P₂A₁A₂，△P₂A₂A₃，…的边长为a，b，c，…，把对应点P₁（a，a），P₂（a+b，b），P₃（a+b+c，c），…，代入函数解析式，得出对应坐标数值，找出计算规律解决问题．

解答 解：设△P₁OA，△P₂A₁A₂，△P₂A₂A₃，…的边长为a，b，c，…，
则点P₁（a，a），P₂（a+b，b），P₃（a+b+c，c），…，
代入函数y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$（x＞0），得
a=-$\frac{1}{3}$a+$\frac{4}{3}$，a=1，点P₁（1，1），
b=-$\frac{1}{3}$（1+b）+$\frac{4}{3}$，b=$\frac{3}{4}$，点P₂（1+$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$），
c=-$\frac{1}{3}$（1+$\frac{3}{4}$+c）+$\frac{4}{3}$，c=$\frac{9}{16}$，点P₃（1+$\frac{3}{4}$+$\frac{9}{16}$，$\frac{9}{16}$），
…
因此点P_n[1+$\frac{3}{4}$+$\frac{9}{16}$+…（$\frac{3}{4}$）^n-1，（$\frac{3}{4}$）^n-1]．
故答案为：P_n[1+$\frac{3}{4}$+$\frac{9}{16}$+…（$\frac{3}{4}$）^n-1，（$\frac{3}{4}$）^n-1]．

点评 此题考查一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，利用待定系数法求得各个点的坐标，找出运算规律，解决问题．