Question

4．如图①，在矩形ABCD中，M为BC上任一点，现将三角板放在矩形ABCD上，使三角板的直角顶点P与点M重合，三角板的一边所在直线过点D，另一边交AB于F．
（1）如果$\frac{AB}{BM}$=1，求证：PF=PD；
（2）如图②，移动三角板，使定点P始终在AM上，且直角的两边与AB、AD交于F、E，若$\frac{AB}{BM}$=$\frac{m}{n}$，请直接写出$\frac{PF}{PE}$的值；
（3）如图③，将（2）中的“矩形ABCD”改为“平行四边形ABCD”，且使原三角板改为钝角三角形，并使∠FPE=∠D，钝角的两边与AB、AD交于F、E，其他条件不变，问（2）中$\frac{PF}{PE}$的值是否仍然成立？若成立，请给予证明，不成立，说明理由．

Answer 1

分析 （1）证得△PBF≌△DCP，再根据全等三角形的性质：对应边相等可得：PE=PF；
（2）过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为G、H，有材料提供的证明思路可证明△PGF∽△PHE，再根据相似三角形的性质：对应边的比值相等可得：$\frac{PF}{PE}$=$\frac{n}{m}$；
（3）过点P作PG∥BC，作PK∥CD交AD于K，作∠GPH=∠EPF，交AD于H，由（2）的思路可证明△PGF∽△PHE，再根据相似三角形的性质：对应边的比值相等可得：$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PG}{PH}$，然后再证得四边形AGPK是平行四边形，△KPH是等腰三角形，即可证得$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PG}{PH}$=$\frac{PG}{AG}$=$\frac{n}{m}$．

解答 （1）证明：如图1，∵∠DPF=90°，
∴∠BPF+∠DPC=90°，
∵∠BFP+∠BPF=90°，
∴∠BFP=∠CPD，
∵$\frac{AB}{BM}$=1，
∴AB=BP=CD，
在△PBF和△DCP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFP=∠CPD}\\{∠B=∠C=90°}\\{BP=CD}\end{array}\right.$
∴△PBF≌△DCP（AAS），
∴PF=PD；
（2）解：过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为G、H，如图2，
∵AB⊥AD，
∴四边形AGPH是矩形，
∴AG=PH，∠GPH=90°
∵PO∥BC，
∴△AGP∽△ABM，
∴$\frac{AG}{PG}$=$\frac{AB}{BM}$=$\frac{m}{n}$，
∵∠EPF=90°，
∴∠GPH-∠FPH=∠EPF-∠FPH，即∠GPF=∠HPE，
∵∠PGF=∠PHE=90°，
∴△PGF∽△PHE，
∴$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PG}{PH}$=$\frac{PG}{AG}$=$\frac{n}{m}$；
（3）解：成立，
过点P作PG∥BC，作∠GPH=∠EPF，交AD于H，如图3，
∴∠GPH-∠GPE=∠EPF-∠GPE，即∠FPG=∠EPH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD+∠D=180°，
∵FPE=∠D，
∴∠BAD+∠FPE=180°，
∴∠PFA+∠PEA=180°，
∵∠PEA+∠PEH=180°，
∴∠PFG=∠PEH，
∴△FPG∽△EPH，
∴$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PG}{PH}$，
∵PG∥BC，
∴△APG∽△AMB，
∴$\frac{AG}{PG}$=$\frac{AB}{BM}$=$\frac{m}{n}$，
作PK∥CD交AD于K，
∴∠PKE=∠BAD，
∵∠FPG=∠EPH，∠PFG=∠PEH，
∴∠PGF=∠PHE．
∵PG∥BC∥AD，
∴∠PGF=∠BAD，
∴∠PKE=∠PHE，
∴PK=PH，
∵PG∥AD，PK∥AB，
∴四边形AGPK是平行四边形，
∴AG=PK=PH，
∴$\frac{PF}{PE}$=$\frac{PG}{PH}$=$\frac{PG}{AG}$=$\frac{n}{m}$．

点评 本题是一个动态几何题，考查了矩形性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定以及性质，三角形相似的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．